Determine se o conjunto \mathcal{B} é espaço vetorial V.
=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathcal{B}=\Bigl\{B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}\Bigr\}\subset V, onde V é o espaço de todas as matrizes 2\times2 reais, e
B_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\; B_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; B_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\; B_{4}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Queremos saber se \mathcal{B} é base de V. Para isso precisamos verificar se ela é linearmente independente e se gera V. Como \dim V=4 e \#\mathcal{B}=4, basta mostrar que falha em gerar V ou que é linearmente dependente.

Passo 2

Vamos tentar expressar uma matriz genérica \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
como combinação linear
x_{1}B_{1}+x_{2}B_{2}+x_{3}B_{3}+x_{4}B_{4} =\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.
Calculamos o lado esquerdo componente a componente:
— Entrada (1,1):
x_{1}\cdot1 + x_{2}\cdot0 + x_{3}\cdot1 + x_{4}\cdot1 = x_{1}+x_{3}+x_{4}.
— Entrada (1,2):
x_{1}\cdot0 + x_{2}\cdot1 + x_{3}\cdot1 + x_{4}\cdot0 = x_{2}+x_{3}.
— Entrada (2,1):
x_{1}\cdot0 + x_{2}\cdot1 + x_{3}\cdot0 + x_{4}\cdot1 = x_{2}+x_{4}.
— Entrada (2,2):
x_{1}\cdot1 + x_{2}\cdot0 + x_{3}\cdot1 + x_{4}\cdot1 = x_{1}+x_{3}+x_{4}.

Passo 3

Igualando essas somas a \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\) obtemos o sistema \[\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}=a,\\\ x_{2}+x_{3}=b,\\\ x_{2}+x_{4}=c,\\\ x_{1}+x_{3}+x_{4}=d. \end{cases}
As equações de primeira e última linha são idênticas, logo exigem a=d\]. Se \(a\neq d, não há solução.

Passo 4

Concluímos que a combinação linear existe somente quando a=d. Ou seja, \mathcal{B} gera apenas as matrizes cuja diagonal principal tem entradas iguais. Logo ela não gera todo V.

Resposta

\mathcal{B} não é base de V, pois não gera todas as matrizes 2\times2 (só gera aquelas com a=d).

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