Queremos saber se \mathcal{B} é base de V. Para isso precisamos verificar se ela é linearmente independente e se gera V. Como \dim V=4 e \#\mathcal{B}=4, basta mostrar que falha em gerar V ou que é linearmente dependente.
Passo 2
Vamos tentar expressar uma matriz genérica \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
como combinação linear
Igualando essas somas a \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\) obtemos o sistema
\[\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}=a,\\\ x_{2}+x_{3}=b,\\\ x_{2}+x_{4}=c,\\\ x_{1}+x_{3}+x_{4}=d. \end{cases}
As equações de primeira e última linha são idênticas, logo exigem a=d\]. Se \(a\neq d, não há solução.
Passo 4
Concluímos que a combinação linear existe somente quando a=d. Ou seja, \mathcal{B} gera apenas as matrizes cuja diagonal principal tem entradas iguais. Logo ela não gera todo V.
Resposta
\mathcal{B} não é base de V, pois não gera todas as matrizes 2\times2 (só gera aquelas com a=d).