Determine o conjunto dos números reais x tais que
\operatorname{tg} 2 x=\sqrt{3} .

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que \operatorname{tg}2x=\sqrt{3}. Vamos usar o fato de que a função tangente é periódica de período \pi e a solução geral de \operatorname{tg}\theta=\sqrt{3}.

Passo 2

Lembrando que sempre que
\operatorname{tg}\theta = \sqrt{3}
temos
\theta = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

No nosso problema, \theta = 2x. Portanto
2x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Isolando x dividindo ambos os lados por 2, obtemos
x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}\}

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