Determine para que valores de x a função y=5-\cos \left(x+\frac{\pi}{5}\right) assume seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 5 - \cos\!\Bigl(x + \frac{\pi}{5}\Bigr)
e pede para quais valores de x a função atinge seu valor máximo. O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas: sabemos que \cos\theta varia entre -1 e 1, e precisamos usar isso para achar o máximo de y.

Passo 2

Relembrando a teoria: a função \cos\theta tem valor mínimo -1. Assim, em
y = 5 - \cos\!\Bigl(x + \frac{\pi}{5}\Bigr),
o termo -\cos(\cdot) ficará máximo quando \cos(\cdot) for mínimo. Logo, o máximo de y ocorre exatamente quando
\cos\!\Bigl(x + \frac{\pi}{5}\Bigr) = -1.

Passo 3

Para resolver \cos\alpha = -1 usamos a fórmula geral:
\alpha = (2k+1)\,\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \alpha = x + \tfrac{\pi}{5}, então
x + \frac{\pi}{5} = (2k+1)\,\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Isolando x:
x = (2k+1)\,\pi \;-\;\frac{\pi}{5} = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{5} = 2k\pi + \frac{5\pi - \pi}{5} = 2k\pi + \frac{4\pi}{5}.

Resposta

Os valores de x que tornam y máximo são
x = \frac{4\pi}{5} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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