1. Determine se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 3 forma um espaço vetorial. Prove ou refute as propriedades do espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 3 forma um espaço vetorial. Vou listar claramente o que temos e o que se deve decidir.
  • Conjunto dado: o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 (assumirei coeficientes em \mathbb{R}). Denoto esse conjunto por
V=\{\,p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3 \mid a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\,\}.
  • Operações naturais consideradas: adição usual de polinômios e multiplicação por escalar usual (escalar em \mathbb{R}).
  • Pergunta: V com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}? Ou seja, todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial devem ser verificadas ou refutadas.

Passo 2

Vou explicitar as operações para não restar dúvida:
  • Se p,q\in V com
p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3, \qquad q(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3,
então a soma p+q é definida coeficiente a coeficiente:
(p+q)(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e p\in V como acima, então a multiplicação por escalar é
(\alpha p)(x)=(\alpha a_0)+(\alpha a_1)x+(\alpha a_2)x^2+(\alpha a_3)x^3.
Essas são as operações usuais de polinômios; agora vamos verificar os axiomas de espaço vetorial, lembrando que preciso provar cada propriedade ou mostrar contraexemplo.

Passo 3

Fecho por adição (axioma implícito importante): mostrar que p+q\in V sempre.
  • Observação: os coeficientes de p+q são (a_0+b_0),(a_1+b_1),(a_2+b_2),(a_3+b_3), todos em \mathbb{R}. Logo p+q é um polinômio da forma c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3 com c_i\in\mathbb{R}. Portanto o grau de p+q é no máximo 3 (pode diminuir se o coeficiente líder a_3+b_3 for zero), mas nunca ultrapassa 3. Conclusão: p+q\in V. Fecho por adição está OK.
Exemplo concreto (para fixar): se p(x)=1+2x+x^3 e q(x)=3-2x+4x^2, então
(p+q)(x)=4+0\cdot x+4x^2+1\cdot x^3,
que é de grau \le 3.

Passo 4

Comutatividade da adição: para quaisquer p,q\in V,
(p+q)(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\cdots+(a_3+b_3)x^3.
Como a soma de reais é comutativa a_i+b_i=b_i+a_i, segue que
(p+q)(x)=(q+p)(x).
Portanto a adição é comutativa.

Passo 5

Associatividade da adição: para p,q,r\in V com coeficientes a_i,b_i,c_i, temos
\big((p+q)+r\big)(x)=((a_0+b_0)+c_0)+((a_1+b_1)+c_1)x+\cdots
e
\big(p+(q+r)\big)(x)=(a_0+(b_0+c_0))+(a_1+(b_1+c_1))x+\cdots.
Como a soma em \mathbb{R} é associativa (a_i+b_i)+c_i=a_i+(b_i+c_i), concluímos
(p+q)+r=p+(q+r).
Assim a adição é associativa.

Passo 6

Existência do elemento neutro (vetor zero): o polinômio nulo
0(x)=0+0x+0x^2+0x^3
tem todos os coeficientes iguais a 0\in\mathbb{R}, logo 0\in V. Para qualquer p\in V,
(p+0)(x)=(a_0+0)+\cdots+(a_3+0)x^3=p(x).
Portanto 0(x) é o elemento neutro aditivo.

Passo 7

Existência do inverso aditivo: dado p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3, define-se
(-p)(x)=(-a_0)+(-a_1)x+(-a_2)x^2+(-a_3)x^3.
Cada -a_i\in\mathbb{R}, logo -p\in V, e
(p+(-p))(x)=(a_0-a_0)+\cdots+(a_3-a_3)x^3=0(x).
Assim todo vetor tem inverso aditivo em V.

Passo 8

Fecho por multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R} e p\in V,
(\alpha p)(x)=(\alpha a_0)+(\alpha a_1)x+(\alpha a_2)x^2+(\alpha a_3)x^3.
Cada \alpha a_i\in\mathbb{R}, então \alpha p tem grau no máximo 3. Conclusão: \alpha p\in V. Fecho por escalar está OK.
Exemplo: (2\cdot(1+2x+x^3))(x)=2+4x+2x^3, que ainda é grau \le 3.

Passo 9

Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: para \alpha\in\mathbb{R} e p,q\in V,
\alpha(p+q) = \alpha\big((a_0+b_0)+\cdots+(a_3+b_3)x^3\big)
= (\alpha(a_0+b_0))+(\alpha(a_1+b_1))x+\cdots
e, usando a distributividade em \mathbb{R},
\alpha(a_i+b_i)=\alpha a_i+\alpha b_i.
Portanto coeficiente a coeficiente vem
\alpha(p+q)=\alpha p+\alpha q.

Passo 10

Distributividade do somatório de escalares sobre o vetor: para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p\in V,
(\alpha+\beta)p = \big((\alpha+\beta)a_0\big)+\cdots+ \big((\alpha+\beta)a_3\big)x^3
e, pela distributividade em \mathbb{R},
(\alpha+\beta)a_i=\alpha a_i+\beta a_i.
Logo
(\alpha+\beta)p=\alpha p+\beta p.

Passo 11

Compatibilidade da multiplicação de escalares (associatividade entre escalares): para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p\in V,
(\alpha\beta)p = \big((\alpha\beta)a_0\big)+\cdots+ \big((\alpha\beta)a_3\big)x^3.
Pela associatividade da multiplicação em \mathbb{R},
(\alpha\beta)a_i=\alpha(\beta a_i),
então
(\alpha\beta)p = \alpha(\beta p).

Passo 12

Elemento escalar identidade: para 1\in\mathbb{R} e p\in V,
1\cdot p = (1\cdot a_0)+\cdots+(1\cdot a_3)x^3 = a_0+\cdots+a_3 x^3 = p.
Portanto 1\cdot p=p.

Passo 13

Resumo das verificações: foram verificadas as propriedades fundamentais:
  • Fecho por adição e por escalar;
  • Adição comutativa e associativa;
  • Existência de elemento neutro e inversos aditivos;
  • Distributividades e compatibilidades envolvendo escalares;
  • Identidade do escalar.
Todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas. (Observação útil: a mesma prova funciona se em vez de \mathbb{R} os coeficientes forem de qualquer corpo \mathbb{F}; então o conjunto forma um espaço vetorial sobre esse corpo.)

Resposta

Sim. O conjunto V=\{\,p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3 \mid a_i\in\mathbb{R}\,\} com adição e multiplicação escalar usuais forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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