- Determine se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 3 forma um espaço vetorial. Prove ou refute as propriedades do espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 3 forma um espaço vetorial. Vou listar claramente o que temos e o que se deve decidir.
- Conjunto dado: o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 (assumirei coeficientes em
). Denoto esse conjunto por
- Operações naturais consideradas: adição usual de polinômios e multiplicação por escalar usual (escalar em
). - Pergunta:
com essas operações é um espaço vetorial sobre ? Ou seja, todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial devem ser verificadas ou refutadas.
Passo 2
Vou explicitar as operações para não restar dúvida:
- Se
com
então a soma
é definida coeficiente a coeficiente:
- Se
e como acima, então a multiplicação por escalar é
Essas são as operações usuais de polinômios; agora vamos verificar os axiomas de espaço vetorial, lembrando que preciso provar cada propriedade ou mostrar contraexemplo.
Passo 3
Fecho por adição (axioma implícito importante): mostrar que
sempre.
- Observação: os coeficientes de
são , todos em . Logo é um polinômio da forma com . Portanto o grau de é no máximo 3 (pode diminuir se o coeficiente líder for zero), mas nunca ultrapassa 3. Conclusão: . Fecho por adição está OK.
Exemplo concreto (para fixar): se
e
, então
que é de grau
.
Passo 4
Comutatividade da adição: para quaisquer
,
Como a soma de reais é comutativa
, segue que
Portanto a adição é comutativa.
Passo 5
Associatividade da adição: para
com coeficientes
, temos
e
Como a soma em
é associativa
, concluímos
Assim a adição é associativa.
Passo 6
Existência do elemento neutro (vetor zero): o polinômio nulo
tem todos os coeficientes iguais a
, logo
. Para qualquer
,
Portanto
é o elemento neutro aditivo.
Passo 7
Existência do inverso aditivo: dado
, define-se
Cada
, logo
, e
Assim todo vetor tem inverso aditivo em
.
Passo 8
Fecho por multiplicação por escalar: para
e
,
Cada
, então
tem grau no máximo 3. Conclusão:
. Fecho por escalar está OK.
Exemplo:
, que ainda é grau
.
Passo 9
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: para
e
,
e, usando a distributividade em
,
Portanto coeficiente a coeficiente vem
Passo 10
Distributividade do somatório de escalares sobre o vetor: para
e
,
e, pela distributividade em
,
Logo
Passo 11
Compatibilidade da multiplicação de escalares (associatividade entre escalares): para
e
,
Pela associatividade da multiplicação em
,
então
Passo 12
Elemento escalar identidade: para
e
,
Portanto
.
Passo 13
Resumo das verificações: foram verificadas as propriedades fundamentais:
- Fecho por adição e por escalar;
- Adição comutativa e associativa;
- Existência de elemento neutro e inversos aditivos;
- Distributividades e compatibilidades envolvendo escalares;
- Identidade do escalar.
Todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre
são satisfeitas. (Observação útil: a mesma prova funciona se em vez de
os coeficientes forem de qualquer corpo
; então o conjunto forma um espaço vetorial sobre esse corpo.)
Resposta
Sim. O conjunto
com adição e multiplicação escalar usuais forma um espaço vetorial sobre
.