Mostre que uma transformação linear T: V \rightarrow V em um espaço vetorial V é invertível se, e somente se, ela é bijetora.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: V \to V em um espaço vetorial V e pede para provar a equivalência entre duas propriedades:
  • ser invertível;
  • ser bijetora (isto é, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo).
Vou mostrar as duas implicações: (i) se T é invertível então T é bijetora; (ii) se T é bijetora então T é invertível. Também vou usar as definições precisas quando necessárias.

Passo 2

Definições e notações que vou usar (tudo explícito):
  • A transformação T:V\to V é linear significa que, para todo x,y\in V e qualquer escalar \lambda,
T(x+y)=T(x)+T(y),\qquad T(\lambda x)=\lambda T(x).
  • T é invertível significa que existe uma transformação linear S:V\to V tal que
S\circ T=\operatorname{Id}_V\quad\text{e}\quad T\circ S=\operatorname{Id}_V,
onde \operatorname{Id}_V é a aplicação identidade em V (ou seja, \operatorname{Id}_V(v)=v para todo v\in V).
  • T é injetora significa: se T(x)=T(y) então x=y. Equivalente: \ker(T)=\{0\}.
  • T é sobrejetora significa: para todo v\in V existe u\in V tal que T(u)=v.
  • Bijetora significa ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Com as definições feitas, começo as demonstrações das duas implicações.

Passo 3

Mostro que se T é invertível então T é bijetora.
Suponha que existe S:V\to V linear com S\circ T=\operatorname{Id}_V e T\circ S=\operatorname{Id}_V.
(i) T é injetora: seja x,y\in V com T(x)=T(y). Aplicando S em ambos os lados obtemos
S(T(x))=S(T(y)).
Como S\circ T=\operatorname{Id}_V, o lado esquerdo é x e o direito é y. Logo x=y. Portanto T é injetora.
(ii) T é sobrejetora: tome qualquer v\in V. Então v=(T\circ S)(v)=T(S(v)). Assim existe u=S(v) com T(u)=v. Logo T é sobrejetora.
Como T é injetora e sobrejetora, T é bijetora. Isso prova a direção invertível \Rightarrow bijetora.

Passo 4

Mostro que se T é bijetora então T é invertível (ou seja, tem inversa linear).
Suponha que T é bijetora. Então existe a inversa de função T^{-1}:V\to V como aplicação entre conjuntos, que satisfaz
T^{-1}\circ T=\operatorname{Id}_V\quad\text{e}\quad T\circ T^{-1}=\operatorname{Id}_V.
Resta provar que T^{-1} é linear. Vou verificar as duas propriedades da linearidade.
Seja u,v\in V. Considere T^{-1}(u) e T^{-1}(v). Pela linearidade de T temos
T\big(T^{-1}(u)+T^{-1}(v)\big)=T\big(T^{-1}(u)\big)+T\big(T^{-1}(v)\big)=u+v.
Por outro lado, pela definição de inversa \,T\big(T^{-1}(u+v)\big)=u+v. Assim
T\big(T^{-1}(u)+T^{-1}(v)\big)=T\big(T^{-1}(u+v)\big).
Como T é injetora (porque é bijetora), podemos cancelar T e concluir
T^{-1}(u)+T^{-1}(v)=T^{-1}(u+v).
Isto mostra aditividade de T^{-1}.
Agora verifique homogeneidade. Seja \lambda um escalar e u\in V. Pela linearidade de T,
T\big(\lambda T^{-1}(u)\big)=\lambda T\big(T^{-1}(u)\big)=\lambda u.
Também T\big(T^{-1}(\lambda u)\big)=\lambda u. Portanto
T\big(\lambda T^{-1}(u)\big)=T\big(T^{-1}(\lambda u)\big).
Pela injetividade de T segue
\lambda T^{-1}(u)=T^{-1}(\lambda u).
Isso mostra homogeneidade. Juntando aditividade e homogeneidade, T^{-1} é linear.
Como T^{-1} é linear e é inversa de T como função (satisfaz as igualdades de composição com a identidade), concluímos que T é invertível (no sentido linear).

Passo 5

Resumo final da prova e um exemplo rápido de intuição:
  • Se existe uma inversa linear S então S fornece um modo de recuperar qualquer vetor e, por isso, T não pode colapsar vetores distintos (injetividade) e atinge todo vetor (sobrejetividade).
  • Se T é bijetora então sua inversa como função existe; a propriedade chave é provar que essa inversa preserva soma e multiplicação por escalar usando a injetividade de T para “cancelar” T. Assim a inversa é linear e T é invertível.
Exemplo simples: a transformação T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n dada por multiplicação por uma matriz A é invertível (no sentido linear) exatamente quando A é invertível como matriz, o que é equivalente a T ser bijetora. Um contraexemplo: a transformação zero T(v)=0 não é injetora nem sobrejetora (exceto no espaço nulo), portanto não é invertível.

Resposta

T é invertível se, e somente se, T é bijetora.

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