Mostre que uma transformação linear
em um espaço vetorial
é invertível se, e somente se, ela é bijetora.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
em um espaço vetorial
e pede para provar a equivalência entre duas propriedades:
- ser invertível;
- ser bijetora (isto é, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo).
Vou mostrar as duas implicações: (i) se
é invertível então
é bijetora; (ii) se
é bijetora então
é invertível. Também vou usar as definições precisas quando necessárias.
Passo 2
Definições e notações que vou usar (tudo explícito):
- A transformação
é linear significa que, para todo e qualquer escalar ,
-
é invertível significa que existe uma transformação linear tal que
onde
é a aplicação identidade em
(ou seja,
para todo
).
-
é injetora significa: se então . Equivalente: . -
é sobrejetora significa: para todo existe tal que . - Bijetora significa ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Com as definições feitas, começo as demonstrações das duas implicações.
Passo 3
Mostro que se
é invertível então
é bijetora.
Suponha que existe
linear com
e
.
(i)
é injetora: seja
com
. Aplicando
em ambos os lados obtemos
Como
, o lado esquerdo é
e o direito é
. Logo
. Portanto
é injetora.
(ii)
é sobrejetora: tome qualquer
. Então
. Assim existe
com
. Logo
é sobrejetora.
Como
é injetora e sobrejetora,
é bijetora. Isso prova a direção invertível
bijetora.
Passo 4
Mostro que se
é bijetora então
é invertível (ou seja, tem inversa linear).
Suponha que
é bijetora. Então existe a inversa de função
como aplicação entre conjuntos, que satisfaz
Resta provar que
é linear. Vou verificar as duas propriedades da linearidade.
Seja
. Considere
e
. Pela linearidade de
temos
Por outro lado, pela definição de inversa
. Assim
Como
é injetora (porque é bijetora), podemos cancelar
e concluir
Isto mostra aditividade de
.
Agora verifique homogeneidade. Seja
um escalar e
. Pela linearidade de
,
Também
. Portanto
Pela injetividade de
segue
Isso mostra homogeneidade. Juntando aditividade e homogeneidade,
é linear.
Como
é linear e é inversa de
como função (satisfaz as igualdades de composição com a identidade), concluímos que
é invertível (no sentido linear).
Passo 5
Resumo final da prova e um exemplo rápido de intuição:
- Se existe uma inversa linear
então fornece um modo de recuperar qualquer vetor e, por isso, não pode colapsar vetores distintos (injetividade) e atinge todo vetor (sobrejetividade). - Se
é bijetora então sua inversa como função existe; a propriedade chave é provar que essa inversa preserva soma e multiplicação por escalar usando a injetividade de para “cancelar” . Assim a inversa é linear e é invertível.
Exemplo simples: a transformação
dada por multiplicação por uma matriz
é invertível (no sentido linear) exatamente quando
é invertível como matriz, o que é equivalente a
ser bijetora. Um contraexemplo: a transformação zero
não é injetora nem sobrejetora (exceto no espaço nulo), portanto não é invertível.