Encontre os autovalores e autovetores da matriz A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A matriz A é uma matriz 2\times2 com entradas 3 na diagonal e 1 nas posições fora da diagonal.
O que se pede:
Encontrar todos os valores de \lambda (autovalores) tais que existe um vetor não-nulo v (autovetor) satisfazendo A v=\lambda v.
Para cada autovalor, fornecer um autovetor correspondente (pelo menos até multiplicação por escalar).]
Passo 2
Definição e método que vamos usar (explicação didática):
Um autovalor \lambda e autovetor v\neq0 satisfazem
A v=\lambda v.
Reescrevendo,
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Isso é um sistema homogêneo. Para que exista solução não-trivial v\neq0, é necessário e suficiente que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é, tenha determinante zero:
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 é chamada de equação característica; suas raízes são os autovalores.
Se quiser um autovetor unitário (às vezes útil), basta dividir por sua norma: a norma de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} é \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, logo um autovetor unitário é