Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
f(x, y)=\begin{cases} \frac{x-3 y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-3y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade de f e justificar a resposta.
Informações relevantes que temos: a fórmula \dfrac{x-3y}{x^{2}+y^{2}} está definida sempre que x^{2}+y^{2}\neq0, ou seja, para todos os pontos (x,y)\neq(0,0). No ponto (0,0) a função está definida por valor separado: f(0,0)=1.]

Passo 2

Primeiro vamos analisar a continuidade em um ponto genérico (x_0,y_0) com (x_0,y_0)\neq(0,0). Lembrete do conceito: uma função é contínua num ponto quando o limite dela ao aproximar-se desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, a regra da função fora da origem é uma razão de polinômios:
(x,y)\mapsto x-3y \quad\text{e}\quad (x,y)\mapsto x^2+y^2
são funções polinomiais em x,y, portanto contínuas em todo \mathbb{R}^2. Onde o denominador x^2+y^2 é diferente de zero, a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Como para (x_0,y_0)\neq(0,0) temos x_0^2+y_0^2>0, segue que f é contínua em todo ponto (x_0,y_0)\neq(0,0).

Passo 3

Agora o ponto crítico é (0,0). Para estudar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-3y}{x^{2}+y^{2}}
existe e, se existir, se é igual a f(0,0)=1. Se esse limite não existir ou for diferente de 1, então f é descontínua em (0,0).

Passo 4

Uma estratégia padrão para limites em \mathbb{R}^2 é testar aproximações por diferentes curvas (ou sequências). Se obtermos limites diferentes ao aproximar por caminhos distintos, o limite total não existe. Considere linhas que passam pela origem da forma y=kx, com k\in\mathbb{R}. Substituindo na expressão para (x,y)\neq(0,0) obtemos:
\frac{x-3y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x-3(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}} =\frac{x(1-3k)}{x^{2}(1+k^{2})} =\frac{1-3k}{x(1+k^{2})}.
Aqui cada passo é só álgebra: factorizei x no numerador e x^{2} no denominador e cancelei um x (válido para x\neq0, que é o caso quando nos aproximamos da origem por pontos diferentes da origem). Observe que a expressão obtida depende de k e também de x.

Passo 5

Agora veja o comportamento quando x\to0 mantendo y=kx.
  • Se k\neq \dfrac{1}{3}, então 1-3k\neq0 e a expressão \dfrac{1-3k}{x(1+k^{2})} diverge em módulo quando x\to0 (tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal de x e do numerador). Assim, para qualquer k\neq\dfrac{1}{3} não existe um limite finito ao longo da linha y=kx.
  • Se k=\dfrac{1}{3}, então 1-3k=0 e a expressão fica 0 para todo x\neq0. Ou seja, ao aproximar pela reta y=\dfrac{1}{3}x a função vale sempre 0 e o limite ao aproximar-se da origem por essa reta é 0.
Isso já mostra que não existe limite único quando (x,y)\to(0,0): por um caminho (por exemplo y=x/3) o valor tende a 0, enquanto por outro caminho a expressão diverge (não há limite finito). Em particular o limite não pode ser igual a 1.

Passo 6

Para dar exemplos concretos e convincentes: tome a aproximação por pontos (x,0) (ou seja k=0). Para y=0 temos
f(x,0)=\frac{x-0}{x^{2}+0}=\frac{1}{x},
que tende a +\infty quando x\to0^{+} e a -\infty quando x\to0^{-}. Já pela reta y=x/3 temos f(x,x/3)=0 para todo x\neq0. Como os limites por esses dois caminhos são diferentes (um não é finito, o outro é 0), o limite bidimensional não existe. Logo não há continuidade em (0,0).

Passo 7

Resumo e conclusão: f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0) porque é razão de polinômios com denominador não nulo nesses pontos. Em (0,0) o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (comportamento dependente do caminho), e portanto f é descontínua em (0,0).

Resposta

\{(0,0)\}

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