E pede: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade de f e justificar a resposta. \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \n
A expressão fechada \dfrac{\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} vale para todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0. \n
O valor de f no ponto (0,0) foi definido explicitamente como 0. \n
Temos que investigar continuidade em todos os pontos do plano, incluindo (0,0).]
Passo 2
Primeiro vamos ver os pontos (x,y) tais que (x,y)\neq(0,0). Nesses pontos a função é dada por uma razão de funções elementares. Vou mostrar por que esses pontos são pontos de continuidade. \n
Observação das funções envolvidas: \sin é contínua em todo \mathbb{R} e a função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua em \mathbb{R}^{2}. A composição destas, (x,y)\mapsto \sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), é contínua. A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} também é contínua e, para (x,y)\neq(0,0), temos x^{2}+y^{2}\neq 0, então o denominador é diferente de zero. \n
Fato usado (explicado de forma simples): quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Portanto, para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0, a função
é contínua. \n
Conclusão parcial: todos os pontos (x,y)\neq(0,0) são pontos de continuidade de f.
Passo 3
Agora o ponto crítico é (0,0). Precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e, em caso afirmativo, se é igual a f(0,0)=0. Se for igual, f é contínua em (0,0); caso contrário, é descontínua ali. \n
Repare que a expressão para (x,y)\neq(0,0) depende apenas de x^{2}+y^{2}. Isso sugere usar a variável radial
r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
então x^{2}+y^{2}=r^{2}. Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0^{+}. Substituindo,
Agora precisamos do limite clássico unidimensional
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}.
Vou justificar este limite de maneira elementar usando uma desigualdade conhecida (proveniente de uma comparação geométrica no círculo unitário). Para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\cos t \;\le\; \frac{\sin t}{t} \;\le\; 1.
Explicação rápida da desigualdade (intuição): geometria do círculo unitário mostra que a área do triângulo inscrito é menor que a área do setor que é menor que a área do triângulo circunscrito, e isso leva a \sin t < t < \tan t, que se rearranja para \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1. Não precisa memorizar a origem geométrica agora, basta saber que a desigualdade é padrão e válida para t próximos de 0. \n
Tomando limites em \cos t \le \dfrac{\sin t}{t} \le 1 quando t\to 0, como \lim_{t\to 0}\cos t = 1 e o lado direito é constante 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.
Passo 6
Voltando ao problema bidimensional, a igualdade das etapas anteriores dá
Juntando tudo: todos os pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) são pontos de continuidade, e o único ponto de descontinuidade é (0,0). \n
Pequena palavra de incentivo: relaxa — nada de muitas pegadinhas aqui; o truque foi notar que a função depende só de x^{2}+y^{2} e usar o limite clássico \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1.