Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções a seguir.
f(x, y)=x, x^{2}+y^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico (superfície) da função \,f(x,y)=x\, definida em \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\geq0\}. As informações relevantes são:
  • A função é \,f(x,y)=x.
  • A condição x^{2}+y^{2}\geq0 é verdadeira para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.
  • Devemos fornecer as curvas de nível (contornos \{(x,y):f(x,y)=c\} para constantes c) e um esboço da superfície tridimensional z=f(x,y).

Passo 2

O que são curvas de nível (contornos)? Para uma função de duas variáveis \,f(x,y)\,, a curva de nível associada ao valor \,c\in\mathbb{R}\, é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c\}.
Intuição prática: fixamos a altura c e desenhamos no plano xy todos os pontos que têm essa altura. Em provas, para obter as curvas de nível basta resolver f(x,y)=c em função de x e y.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, resolvemos \,f(x,y)=c:
f(x,y)=x=c.
Logo cada curva de nível é dada por
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=c\},
que é a reta vertical de abscissa \,x=c. Exemplos concretos: para c=-2,-1,0,1,2 temos as retas verticais x=-2,-1,0,1,2. Portanto as curvas de nível são retas verticais paralelas entre si, igualmente espaçadas quando tomamos valores c com espaçamento constante.
Dica de desenho na prova: marque algumas retas verticais no plano xy (por exemplo x=-2,-1,0,1,2) e anote o valor de c em cada uma. Como y é livre, cada reta é infinita na direção y.

Passo 4

Uma explicação útil (ligando teoria e desenho): o gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(1,0).
Significado:
  • \nabla f é perpendicular às curvas de nível. Aqui (1,0) aponta na direção positiva de x, perpendicular às retas x=c, coerente com o desenho.
  • A magnitude \|\nabla f\|=1 é constante, o que indica que a variação de f ao mover-se na direção de máximo crescimento (direção do eixo x) é constante — por isso as curvas de nível estão igualmente espaçadas para variações iguais de c.

Passo 5

Agora o esboço do gráfico 3D. Interpretamos a superfície como o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=f(x,y)=x\},
ou seja, a equação da superfície é
z=x.
Isto é um plano: pode-se reescrever como z-x=0. Características geométricas fáceis de visualizar:
  • Ao fixar y (qualquer valor), a seção (x,y,z) é a reta no plano xz dada por z=x — uma reta com inclinação 1 no plano xz.
  • Ao fixar x a superfície tem z constante (igual a esse x), portanto as linhas obtidas ao variar y são retas horizontais paralelas ao eixo y e a alturas diferentes.
  • O plano é paralelo ao eixo y e inclinado apenas na direção x. Visualmente: imagine a reta z=x no plano y=0 e “puxe” essa reta paralelamente ao eixo y formando um plano.
Como desenhar na prova (passo a passo):
  1. Desenhe os três eixos x, y, z.
  2. No plano y=0 esboce a reta z=x (subida de 45º no plano xz).
  3. Repita essa reta para outros valores de y deslocando-a paralelamente ao eixo y; o conjunto dessas retas é o plano z=x.
  4. Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano xy (as retas x=c) e, sobre cada reta, marque a altura z=c para ver a correspondência entre contorno e altura.

Passo 6

Exemplos comparativos rápidos para fixar a ideia:
  • Se f(x,y)=x^{2}+y^{2}, as curvas de nível x^{2}+y^{2}=c são círculos — contraste com o nosso caso onde são retas.
  • Se f(x,y)=y, as curvas de nível seriam horizontais y=c. Assim você vê o padrão: se a função depende só de uma variável, as curvas de nível são retas paralelas.
Força: desenhar umas 4–5 retas verticais e esboçar o plano a partir da reta z=x no plano y=0 resolve fácil na prova.

Resposta

Curvas de nível: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=c\} para todo c\in\mathbb{R}.\nGráfico da função: plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=x\}.

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