Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico (superfície) da função
definida em
. As informações relevantes são:
- A função é
. - A condição
é verdadeira para todo , portanto o domínio é todo o plano . - Devemos fornecer as curvas de nível (contornos
para constantes ) e um esboço da superfície tridimensional .
Passo 2
O que são curvas de nível (contornos)? Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível associada ao valor
é o conjunto
Intuição prática: fixamos a altura
e desenhamos no plano
todos os pontos que têm essa altura. Em provas, para obter as curvas de nível basta resolver
em função de
e
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, resolvemos
:
Logo cada curva de nível é dada por
que é a reta vertical de abscissa
. Exemplos concretos: para
temos as retas verticais
. Portanto as curvas de nível são retas verticais paralelas entre si, igualmente espaçadas quando tomamos valores
com espaçamento constante.
Dica de desenho na prova: marque algumas retas verticais no plano
(por exemplo
) e anote o valor de
em cada uma. Como
é livre, cada reta é infinita na direção
.
Passo 4
Uma explicação útil (ligando teoria e desenho): o gradiente de
é
Significado:
-
é perpendicular às curvas de nível. Aqui aponta na direção positiva de , perpendicular às retas , coerente com o desenho. - A magnitude
é constante, o que indica que a variação de ao mover-se na direção de máximo crescimento (direção do eixo ) é constante — por isso as curvas de nível estão igualmente espaçadas para variações iguais de .
Passo 5
Agora o esboço do gráfico 3D. Interpretamos a superfície como o conjunto
ou seja, a equação da superfície é
Isto é um plano: pode-se reescrever como
. Características geométricas fáceis de visualizar:
- Ao fixar
(qualquer valor), a seção é a reta no plano dada por — uma reta com inclinação no plano . - Ao fixar
a superfície tem constante (igual a esse ), portanto as linhas obtidas ao variar são retas horizontais paralelas ao eixo e a alturas diferentes. - O plano é paralelo ao eixo
e inclinado apenas na direção . Visualmente: imagine a reta no plano e “puxe” essa reta paralelamente ao eixo formando um plano.
Como desenhar na prova (passo a passo):
- Desenhe os três eixos
, , . - No plano
esboce a reta (subida de 45º no plano ). - Repita essa reta para outros valores de
deslocando-a paralelamente ao eixo ; o conjunto dessas retas é o plano . - Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano
(as retas ) e, sobre cada reta, marque a altura para ver a correspondência entre contorno e altura.
Passo 6
Exemplos comparativos rápidos para fixar a ideia:
- Se
, as curvas de nível são círculos — contraste com o nosso caso onde são retas. - Se
, as curvas de nível seriam horizontais . Assim você vê o padrão: se a função depende só de uma variável, as curvas de nível são retas paralelas.
Força: desenhar umas 4–5 retas verticais e esboçar o plano a partir da reta
no plano
resolve fácil na prova.
Resposta
Curvas de nível:
para todo
.\nGráfico da função: plano
.