Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é contínua.
f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}-1 & \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -x^{2}+1 & \text { se } x \in \mathbb{Q}\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos em que a função f\) é contínua. A função dada é \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-1 & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] -\,x^{2}+1 & \text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
  • A definição de f\] depende se \(x é racional ( x\in\mathbb{Q}) ou irracional ( x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}).
  • A pergunta é: para quais pontos x_0\in\mathbb{R} a função f é contínua?]

Passo 2

Vou recordar de forma bem didática o conceito que precisamos usar: o que significa f ser contínua em um ponto x_0.
  • A função f é contínua em x_0 se e somente se \lim_{x\to x_0} f(x) existe e vale f(x_0).
  • Para que \lim_{x\to x_0} f(x) exista é preciso que, ao aproximarmos x de x_0 por qualquer sequência de pontos (racionais ou irracionais), os valores f(x) tendam ao mesmo número. Como \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos em \mathbb{R}, qualquer vizinhança de x_0 contém tanto racionais quanto irracionais. Isso será crucial: limites aproximados por racionais e por irracionais devem coincidir se o limite existir.

Passo 3

Vou usar a ideia de aproximar x_0 por sequências racionais e irracionais para obter uma condição necessária para continuidade.
Se \lim_{x\to x_0} f(x)=L existe, tome uma sequência (q_n) \subset \mathbb{Q} com q_n\to x_0. Para esses termos temos f(q_n)=q_n^{2}-1. Como a função x\mapsto x^{2}-1 é contínua, q_n^{2}-1\to x_0^{2}-1. Logo L=x_0^{2}-1.
Agora tome uma sequência (r_n)\subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} com r_n\to x_0. Para esses termos f(r_n)=-r_n^{2}+1. Pela continuidade de x\mapsto -x^{2}+1 segue -r_n^{2}+1\to -x_0^{2}+1. Logo L=-x_0^{2}+1.
Como os dois limites (pelos racionais e pelos irracionais) devem ser iguais ao mesmo L, obtemos a condição
x_0^{2}-1 = -x_0^{2}+1.

Passo 4

Resolvo a condição obtida:
x_0^{2}-1 = -x_0^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad 2x_0^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x_0^{2}=1.
Portanto a condição necessária é x_0=\pm 1. Concluímos que, se a função for contínua em x_0, então obrigatoriamente x_0\in\{-1,1\}. Agora precisamos verificar a suficiência: em -1 e 1 a função realmente é contínua?

Passo 5

Vou mostrar que f é contínua em x_0=1. Observe que para qualquer x\in\mathbb{R} vale
\text{ou } f(x)=x^{2}-1 \quad\text{ou}\quad f(x)=-x^{2}+1,
então em ambos os casos |f(x)|=|x^{2}-1|. Em particular, para qualquer x,
|f(x)-0|=|f(x)|=|x^{2}-1|.
Como a função g(x)=x^{2}-1 é contínua e g(1)=0, temos x^{2}-1\to 0 quando x\to 1. Portanto |f(x)-0| \to 0 quando x\to 1, o que mostra que \lim_{x\to 1} f(x)=0. Além disso f(1) está bem definida (como 1\in\mathbb{Q}) e f(1)=1^{2}-1=0. Logo \lim_{x\to 1} f(x)=f(1) e f é contínua em 1.
Se quiser uma prova \varepsilon- \delta rápida: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\min\{1,\varepsilon/3\}. Se |x-1|<\delta então |x+1|\le 3 e
|f(x)-0|=|x^{2}-1|=|x-1||x+1|<\delta\cdot 3\le \varepsilon.
Isso confirma continuidade em 1.

Passo 6

Agora faço o mesmo para x_0=-1. Repare que para qualquer x também vale |f(x)|=|x^{2}-1|. Como g(-1)=(-1)^{2}-1=0 e g é contínua, x^{2}-1\to 0 quando x\to -1. Assim \lim_{x\to -1} f(x)=0. E f(-1) está bem definida (pois -1\in\mathbb{Q}) e f(-1)=(-1)^{2}-1=0. Portanto f é contínua em -1. Uma prova \varepsilon- \delta é análoga à do passo anterior.

Passo 7

Concluo: a função não pode ser contínua em ponto x_0 com x_0^{2}\neq 1, porque as aproximações por racionais e irracionais dão limites diferentes; e é contínua em x_0=\pm 1 como mostrei. Portanto o conjunto de continuidade é exatamente \{-1,1\}.

Resposta

\{-1,1\}

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