Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é descontínua.
f(x)= \begin{cases}x, & \text { se } x \in \mathbb{Q}, \\\\ -x, & \text { se } x \notin \mathbb{Q} .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x, & \text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ -x, & \text{se }x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede o conjunto dos pontos em que f é descontínua. O conteúdo aqui é o conceito de continuidade e a densidade de \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} em \mathbb{R}. Vamos usar a definição de limite e continuidade, analisando aproximações por seqüências de racionais e irracionais.

Passo 2

Recordando definição: f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Como \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos, para qualquer ponto a podemos aproximar x\to a por valores racionais e irracionais.

Passo 3

Limite ao aproximar por racionais: se x_n\in\mathbb{Q} e x_n\to a, então f(x_n)=x_n\to a. Logo
\lim_{\substack{x\to a\x\in\mathbb{Q}}}f(x)=a.

Passo 4

Limite ao aproximar por irracionais: se y_n\notin\mathbb{Q} e y_n\to a, então f(y_n)=-y_n\to -a. Logo
\lim_{\substack{x\to a\x\notin\mathbb{Q}}}f(x)=-a.

Passo 5

Para existir \lim_{x\to a}f(x) os dois limites parciais devem coincidir, ou seja
a = -a \quad\Longrightarrow\quad 2a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.
Além disso, em a=0 temos f(0)=0 (pois 0\in\mathbb{Q}) e o limite comum é 0, portanto f é contínua em 0. Em qualquer outro ponto a\neq0, como a\neq -a, o limite não existe e f é descontínua.

Resposta

O conjunto dos pontos de descontinuidade de f é
\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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