Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
f(x)=\frac{|x|}{x} \quad em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{|x|}{x}
que não está definida em x_{0}=0. Queremos ver se existe uma função g tal que g(x)=f(x) para x\neq0 e que seja contínua em x=0. Para isso, vamos calcular os limites laterais de f em 0 e ver se coincidem.

Passo 2

Calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x} =1,
\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x} =\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x} =-1.

Passo 3

Os limites laterais são diferentes 1 e -1, logo \lim_{x\to0}f(x) não existe. Como não há um valor único a atribuir em x=0 que iguale esses dois limites, não é possível definir g(0) de modo a tornar g contínua em 0.

Resposta

Não existe extensão contínua de f(x)=\tfrac{|x|}{x} em x_{0}=0.

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