Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é descontínua.
f(x)=x-\lfloor x\rfloor

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos onde a função
f(x)=x-\lfloor x\rfloor
é descontínua. O conteúdo envolvido é a definição da função piso \lfloor x\rfloor e análise de continuidade de funções definidas por partes.

Passo 2

Lembrando que \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x, a função f pode ser reescrita para cada n\in\mathbb{Z} e x\in[n,n+1) como
f(x)=x-n.
Nesse intervalo, f é simplesmente a reta de inclinação 1 e intercepto -n, portanto contínua em (n,n+1).

Passo 3

Para verificar a continuidade em um ponto inteiro n, calculamos os limites laterais.
Limite à direita em x\to n^+: como x\in(n,n+1) temos \lfloor x\rfloor=n, logo
\lim_{x\to n^+}f(x)=\lim_{x\to n^+}(x-n)=0.
O valor da função em n é
f(n)=n-\lfloor n\rfloor=n-n=0.

Passo 4

Limite à esquerda em x\to n^-: como x\in(n-1,n) temos \lfloor x\rfloor=n-1, logo
\lim_{x\to n^-}f(x)=\lim_{x\to n^-}(x-(n-1))=n-(n-1)=1.
Como \lim_{x\to n^-}f(x)=1\neq0=\lim_{x\to n^+}f(x), a função apresenta salto em x=n, ou seja, é descontínua em todo inteiro.

Resposta

O conjunto de descontinuidade de f é
\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.

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