Determine o conjunto de pontos de \mathbb{R}^{2} onde f é diferenciável
f(x, y)=x|y|.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos de \mathbb{R}^2 onde
f(x,y)=x\,|y|
é diferenciável. Vamos usar que a função y\mapsto|y| é diferenciável exatamente para y\neq0 e analisar o caso y=0 separadamente.

Passo 2

Se y\neq0, então |y| é suave e, sendo f(x,y) produto de x (função linear) por |y| (função diferenciável), f é diferenciável em todos os pontos com y\neq0.

Passo 3

Agora considere um ponto (x_0,0). Primeiro calcule a derivada parcial de f em relação a x por definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,0)-f(x_0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(x_0+h)\,|0|-x_0\cdot0}{h}=0.

Passo 4

Em seguida calcule a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(x_0,k)-f(x_0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{x_0\,|k|-0}{k} =x_0\lim_{k\to0}\frac{|k|}{k} =x_0\cdot\operatorname{sign}(k).
Esse limite só existe (i.e.\ não depende do sinal de k) se x_0=0. Logo, nos pontos (x_0,0) com x_0\neq0, não existe \partial f/\partial y e, portanto, f não pode ser diferenciável ali.

Passo 5

Falta verificar diferenciabilidade no ponto (0,0). O candidato ao diferencial linear é L(h,k)=0. Vamos ver se
\frac{f(0+h,0+k)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{h\,|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}
tende a zero quando (h,k)\to(0,0). Como
|h\,|k||=|h||k|\le\frac{h^2+k^2}{2},
temos
0\le\frac{|h||k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le\frac{h^2+k^2}{2\,\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{\sqrt{h^2+k^2}}{2}\;\xrightarrow{(h,k)\to(0,0)}\;0.
Isso mostra que o resto fica pequeno relativo a \sqrt{h^2+k^2}, logo f é diferenciável em (0,0).

Resposta

O conjunto de pontos onde f é diferenciável é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq0\}\;\cup\;\{(0,0)\}.

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