Determine o conjunto de pontos de \mathbb{R}^{2} onde f é diferenciável f(x, y)=x|y|.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de pontos de \mathbb{R}^2 onde
f(x,y)=x\,|y|
é diferenciável. Vamos usar que a função y\mapsto|y| é diferenciável exatamente para y\neq0 e analisar o caso y=0 separadamente.
Passo 2
Se y\neq0, então |y| é suave e, sendo f(x,y) produto de x (função linear) por |y| (função diferenciável), f é diferenciável em todos os pontos com y\neq0.
Passo 3
Agora considere um ponto (x_0,0). Primeiro calcule a derivada parcial de f em relação a x por definição:
Esse limite só existe (i.e.\ não depende do sinal de k) se x_0=0. Logo, nos pontos (x_0,0) com x_0\neq0, não existe \partial f/\partial y e, portanto, f não pode ser diferenciável ali.
Passo 5
Falta verificar diferenciabilidade no ponto (0,0). O candidato ao diferencial linear é L(h,k)=0. Vamos ver se