Determine o conjunto de pontos de
onde
é diferenciável
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o conjunto de pontos em
onde ela é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função composta, usando a regra da cadeia. Vamos precisar saber que a função polinomial
é
em toda parte, e que a raiz cúbica
tem derivada
sempre que
, mas não é diferenciável em
.
Passo 2
Escrevemos
com
e
. Como
é
em todo
e
é
em
, a regra da cadeia garante que
é
(logo diferenciável) em todos os pontos onde
existe, isto é, onde
Passo 3
Resta verificar os pontos onde
. Nesses pontos temos
e, portanto,
não existe (a derivada da raiz cúbica é
, que diverge em
). Logo a composição não pode ser diferenciável aí. Podemos checar, por exemplo, em
que as derivadas parciais existem mas o erro de aproximação linear não é
, confirmando a falta de diferenciabilidade. O mesmo vale para qualquer ponto
com
.