Determine o conjunto de pontos de \mathbb{R}^{2} onde f é diferenciável
f(x, y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}
e pede o conjunto de pontos em \mathbb{R}^2 onde ela é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função composta, usando a regra da cadeia. Vamos precisar saber que a função polinomial
g(x,y)=x^3+y^3
é C^\infty em toda parte, e que a raiz cúbica
\varphi(t)=t^{1/3}
tem derivada
\varphi'(t)=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}
sempre que t\neq0, mas não é diferenciável em t=0.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y)=\varphi\bigl(g(x,y)\bigr),
com g(x,y)=x^3+y^3 e \varphi(t)=t^{1/3}. Como g é C^\infty em todo \mathbb{R}^2 e \varphi é C^1 em \mathbb{R}\setminus\{0\}, a regra da cadeia garante que f é C^1 (logo diferenciável) em todos os pontos onde \varphi'(g(x,y)) existe, isto é, onde
g(x,y)\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^3+y^3\neq0.

Passo 3

Resta verificar os pontos onde x^3+y^3=0. Nesses pontos temos g(x,y)=0 e, portanto, \varphi'(0) não existe (a derivada da raiz cúbica é \frac13t^{-2/3}, que diverge em t=0). Logo a composição não pode ser diferenciável aí. Podemos checar, por exemplo, em (0,0) que as derivadas parciais existem mas o erro de aproximação linear não é o(\sqrt{x^2+y^2}), confirmando a falta de diferenciabilidade. O mesmo vale para qualquer ponto (a,b)\neq(0,0) com a^3+b^3=0.

Resposta

f é diferenciável em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^3+y^3\neq0\}.

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