Determine o conjunto de pontos de \mathbb{R}^{2} onde f é diferenciável
f(x, y)=e^{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de \mathbb{R}^{2} em que
f(x,y)=e^{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}
é diferenciável.
O conteúdo usado será: diferenciabilidade de composição de funções, existência de parciais e teste pelo limite da definição no ponto crítico (0,0).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{4}+y^{4}>0. Como
  1. (x,y)\mapsto x^{4}+y^{4} é C^{\infty} em \mathbb{R}^{2},
  2. u\mapsto \sqrt{u} é C^{\infty} em (0,\infty),
  3. v\mapsto e^{v} é C^{\infty} em \mathbb{R},
    a composição mostra que f é C^{\infty} (portanto diferenciável) em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) avaliamos primeiro as derivadas parciais. Como
f(0,0)=e^{\sqrt{0^{4}+0^{4}}}=e^{0}=1,
a derivada direcional em x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-1}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{\sqrt{h^{4}}}-1}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{h^{2}}-1}{h}=0.
Analogamente \partial f/\partial y(0,0)=0.

Passo 4

Para checar a diferenciabilidade em (0,0) usamos
R(x,y)=f(x,y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y =e^{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}-1.
Note que, definindo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\sqrt{x^{4}+y^{4}}\le x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo para (x,y)\to(0,0) vale
|R(x,y)|=e^{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}-1 \sim \sqrt{x^{4}+y^{4}} =O(r^{2}).
Como O(r^{2})/r\to0 quando r\to0, segue que
\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to0,
mostrando que f é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Concluímos que não há outros pontos problemáticos: f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

O conjunto de diferenciabilidade de f é todo \mathbb{R}^{2}.

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