Determine o conjunto de pontos onde a função composta h(x)=f(g(x)) é contínua para as funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-12}}{\ln \left(x^{2}-20\right)} \quad e \quad g(x)=\sqrt{x^{2}-x}

Passo 1

Estamos buscando os pontos de continuidade de h(x)=f(g(x)). Como g é contínua em seu domínio D_g e f é contínua em seu domínio D_f, a composição h será contínua exatamente no conjunto
D_h \;=\; \{\,x\in D_g : g(x)\in D_f\}.
Logo, primeiro achamos D_g e D_f, depois impomos g(x)\in D_f.

Passo 2

Domínio de g:
g(x)=\sqrt{x^2 - x}
exige
x^2 - x \;\ge\; 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,0]\;\cup\;[1,\infty).
Portanto
D_g = (-\infty,0]\;\cup\;[1,\infty).

Passo 3

Domínio de f:
f(y)=\frac{\sqrt{y^2-12}}{\ln\bigl(y^2-20\bigr)}.
Para a raiz precisamos
y^2 -12 \;\ge\;0 \quad\Longrightarrow\quad |y|\ge2\sqrt3,
e para o logaritmo no denominador precisamos
y^2-20>0 \quad\Longrightarrow\quad |y|>2\sqrt5,
além de não anular o denominador:
\ln(y^2-20)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad y^2-20\neq1 \quad\Longrightarrow\quad y^2\neq21.
Como |y|>2\sqrt5 já implica |y|\ge2\sqrt3, juntamos tudo e obtemos
D_f=\bigl\{y:|y|>2\sqrt5 \bigr\} \;\setminus\;\{\pm\sqrt{21}\}.

Passo 4

Queremos g(x)\in D_f. Note que g(x)=\sqrt{x^2-x}\ge0, então basta exigir
\sqrt{x^2-x}>2\sqrt5 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x>20,
e ainda
\sqrt{x^2-x}\neq\sqrt{21} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x\neq21.
Adicionalmente x deve pertencer a D_g, mas veremos que a solução de x^2-x>20 já fica dentro de D_g.

Passo 5

  1. Resolver
x^2 - x>20 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x -20>0.
As raízes de x^2 - x -20=0 são x=5 e x=-4, e a parábola é positiva para
x\in(-\infty,-4)\;\cup\;(5,\infty).
  1. Excluir os pontos em que x^2 - x=21, ou seja as raízes de
x^2 - x -21=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{85}}2.
Esses dois valores caem, um em (-\infty,-4) e outro em (5,\infty), então só subtrair cada um de seu intervalo.

Resposta

h é contínua exatamente em
(-\infty,-4)\;\setminus\;\Bigl\{\tfrac{1-\sqrt{85}}2\Bigr\} \;\;\cup\;\; (5,\infty)\;\setminus\;\Bigl\{\tfrac{1+\sqrt{85}}2\Bigr\}.

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