Determine o conjunto de pontos onde a função composta h(x)=f(g(x)) é contínua para as funções:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 3 x-5, & \text { se } x>3 \\\\ 2 x^{2}-4 x-2, & \text { se } x \leq 3\end{aligned} \quad\right.
e \quad g(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos em que
h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
é contínua, sabendo que
f(x)= \begin{cases} 3x-5,&x>3,\\\\ 2x^2-4x-2,&x\le3, \end{cases}
e g(x)=2x+1.
Para a continuidade de h num ponto x_0 precisamos que
  1. g seja contínua em x_0, e
  2. f seja contínua em g(x_0).
    Aqui g é um polinômio, logo contínua em todo \mathbb{R}. Resta investigar a continuidade de f.

Passo 2

A única possível descontinuidade de f vem da mudança de ramo em x=3. Vamos checar os limites laterais e o valor de f em x=3.
Para x\to3^- usamos o ramo 2x^2-4x-2, então
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^-}\bigl(2x^2-4x-2\bigr) =2\cdot3^2-4\cdot3-2 =18-12-2 =4.
Para x\to3^+ usamos o ramo 3x-5, então
\lim_{x\to3^+}f(x) =\lim_{x\to3^+}(3x-5) =3\cdot3-5 =9-5 =4.
E como 3\le3 cai no segundo caso,
f(3)=2\cdot3^2-4\cdot3-2=4.

Passo 3

Vimos que
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^+}f(x) =f(3)=4,
logo f é contínua em x=3. Como ambos f e g são contínuas em todos os pontos de seus domínios, a composição h(x)=f(g(x)) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbb{R}

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