Determine o conjunto de pontos onde a função composta h(x)=f(g(x)) é contínua para as funções:
f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}-4 x+3, & \text { se } x \geq 2 \\\\ 2 x-3, & \text { se } x<2\end{aligned}\right.
e g(x)=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de continuidade de h(x)=f(g(x))\), sabendo que \[f(x)= \begin{cases} x^{2}-4x+3,&x\ge2,\\\\ 2x-3,&x<2, \end{cases}
e \,g(x)=2x+3\]. Para composições, usamos que \(h é contínua em x_0 sempre que g for contínua em x_0 e f for contínua em g(x_0).

Passo 2

Verificamos que g(x)=2x+3 é um polinômio, logo contínua para todo x\in\mathbb{R}. Assim, a continuidade de h só depende da continuidade de f nos pontos y=g(x).

Passo 3

Analisamos f. Como é polinomial em cada ramo, f é contínua em todos os x\neq2. Em x=2 há quebra:
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(2x-3)=2\cdot2-3=1, \quad f(2)=2^2-4\cdot2+3=-1.
Logo f é descontínua em x=2 e contínua em \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 4

h será descontínua exatamente onde g(x)=2, pois é aí que f falha em continuidade. Resolvendo
2x+3=2 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12.
Portanto, h é descontínua em x=-\tfrac12 e contínua em todo os outros pontos.

Resposta

h é contínua em \mathbb{R}\setminus\{-\tfrac12\}.

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