Determine o conjunto solução de cada uma das desigualdades.
|3+2 x|<|4-x|

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade envolvendo valores absolutos |3 + 2x| < |4 - x|. O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto e vamos usar a técnica de elevar ao quadrado pois ela facilita não ter que dividir em vários casos de sinal.

Passo 2

Para tirar os valores absolutos de uma vez só, usamos a propriedade de que |A| < |B| é equivalente a A^2 < B^2. Assim, reescrevemos
(3 + 2x)^2 < (4 - x)^2
Agora expandimos cada lado:
(3 + 2x)^2 = 9 + 12x + 4x^2
(4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2
Em seguida, montamos a inequação quadrática subtraindo o lado direito do esquerdo:
9 + 12x + 4x^2 - (16 - 8x + x^2) < 0
Simplificando os termos:
9 + 12x + 4x^2 - 16 + 8x - x^2 < 0
3x^2 + 20x - 7 < 0

Passo 3

Para resolver 3x^2 + 20x - 7 < 0, calculamos as raízes do polinômio 3x^2 + 20x - 7 = 0. O discriminante é
,De
As raízes são:
x = -20 pm 222cdot3 implies x1 = 26 = tfrac13, x2 = -426 = -7

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 é positivo, o gráfico da parábola fica acima de zero fora do intervalo entre as raízes e abaixo de zero dentro. Queremos <0, então:
x in (-7, tfrac13)

Resposta

$ (-7, \tfrac{1}{3}) $

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