Determine o conjunto solução de cada uma das desigualdades.

Passo 1

Estamos com a desigualdade |x+22x-3|<4, que é uma inequação racional com valor absoluto. O conteúdo envolvido é transformar lvert Arvert em -B e ainda cuidar do domínio onde o denominador não zera.

Passo 2

Primeiro restringimos o domínio e reescrevemos a desigualdade sem valor absoluto:
2x-3neq0Longrightarrow xneq32
Aplicando -4.

Passo 3

Agora separamos em duas inequações e simplificamos cada uma:
x+22x-3<4 implica
x+2-4(2x-3)2x-3<0 Longrightarrow -7(x-2)2x-3<0 Longrightarrow x-22x-3>0
-4 implica
x+2+4(2x-3)2x-3>0 Longrightarrow 9x-102x-3>0

Passo 4

Para resolver as duas inequações racionais fazemos análise de sinais. Os pontos críticos são onde numeradores ou denominador viram zero: x=2, x=tfrac109 e x=tfrac32. Dividimos a reta em:
x-22x-3
e checamos o sinal de 9x-102x-3 e de em cada intervalo.

Passo 5

Observamos que x-22x-3>0 vale em x e em x>2, enquanto 9x-102x-3>0 vale em x e em x>tfrac32. A intersecção dessas regiões fica em x e em x>2, respeitando sempre xneqtfrac32.

Resposta

(-\infty,10/9)\cup(2,\infty)

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