Determine o conjunto solução de cada uma das desigualdades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade juntos! O enunciado pede para encontrarmos todos os valores de $ x $ que satisfazem:
Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com as barras de valor absoluto e as propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar a fração multiplicando ambos os lados da desigualdade pelo denominador $ |3 + x| $. Mas, atenção: como estamos multiplicando por um valor absoluto, que sempre é positivo, não precisamos inverter o sinal da desigualdade. Assim, temos:
Passo 3
Agora, para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Passo 4
Vamos considerar os dois casos possíveis para os valores absolutos. Lembrando que $ |A| \geq |B| $ significa que $ A \geq B $ ou $ A \leq -B $. Aplicando isso à nossa desigualdade:
- $ 4(2 - 3x) \geq 3 + x $
- $ 4(2 - 3x) \leq -(3 + x) $
Passo 5
Resolvendo o primeiro caso:
Distribuindo o 4:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Subtraindo $ x $ de ambos os lados:
Adicionando $ 13x $ a ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 13:
Passo 6
Resolvendo o segundo caso:
Distribuindo o 4 e o sinal negativo:
Somando $ 12x $ e 3 a ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 11:
Passo 7
Agora, precisamos considerar as condições onde os denominadores não se anulem, ou seja, $ |3 + x| \neq 0 $, o que significa $ 3 + x \neq 0 $ ou $ x \neq -3 $.
Passo 8
Juntando os resultados dos dois casos:
E lembrando que $ x \neq -3 $.
Resposta
O conjunto solução da desigualdade é: