Determine o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação modular
Informações dadas:
- A incógnita é
. - O membro esquerdo é um valor absoluto
. - O membro direito é
.
A tarefa é achar todos os valores reais deque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Relembrando o que é valor absoluto e uma ideia importante para resolver inequações com módulo.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Isto significa que, para resolver
.
Outra observação chave:
para todo
. Como a desigualdade é estrita (
), se
então o lado direito
é
e não pode ser maior do que um número não negativo. Logo, não há soluções com
. Concluímos imediatamente que qualquer solução deve satisfazer
Passo 3
Agora fazemos a análise em dois casos segundo o sinal de
.
Caso A:
. Isso equivale a
Neste caso
. A inequação fica
Resolvendo essa desigualdade:
Juntando com a condição do caso
e com
já verificado, obtemos para este caso o intervalo
Verificação de extremos: em
temos
e
é verdadeiro; em
temos
e
é falso, então
não entra.
Passo 4
Caso B:
. Isso equivale a
Aqui
. A inequação passa a ser
Resolvendo:
Juntando com a condição do caso
e com
, obtemos para este caso o intervalo
Verificação de extremos: em
dá igualdade (
), mas a desigualdade é estrita, então
não serve;
pertence ao outro caso e já foi analisado.
Passo 5
Agora unimos os resultados dos dois casos. A união dos intervalos encontrados é
Podemos checar rapidamente alguns pontos:
-
(fora da solução) dá → não satisfaz. -
(dentro) dá → satisfaz. -
(dentro) dá → satisfaz.