Determine o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo.
|2 x-1|<x

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação modular
|2x-1|<x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • O membro esquerdo é um valor absoluto |2x-1|.
  • O membro direito é x.
    A tarefa é achar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Relembrando o que é valor absoluto e uma ideia importante para resolver inequações com módulo.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] - a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que, para resolver |2x-1|<x\], temos que considerar dois casos conforme o sinal da expressão interna \(2x-1.
Outra observação chave: |2x-1|\ge 0 para todo x. Como a desigualdade é estrita ( <), se x\le 0 então o lado direito x é \le 0 e não pode ser maior do que um número não negativo. Logo, não há soluções com x\le 0. Concluímos imediatamente que qualquer solução deve satisfazer
x>0.]

Passo 3

Agora fazemos a análise em dois casos segundo o sinal de 2x-1.
Caso A: 2x-1\ge 0. Isso equivale a
x \ge \tfrac{1}{2}.
Neste caso |2x-1| = 2x-1. A inequação fica
2x-1 < x.
Resolvendo essa desigualdade:
2x-1 < x \quad\Longrightarrow\quad 2x-x < 1 \quad\Longrightarrow\quad x < 1.
Juntando com a condição do caso x\ge \tfrac{1}{2} e com x>0 já verificado, obtemos para este caso o intervalo
\tfrac{1}{2} \le x < 1.
Verificação de extremos: em x=\tfrac{1}{2} temos |2x-1|=0 e 0<\tfrac{1}{2} é verdadeiro; em x=1 temos |2x-1|=1 e 1<1 é falso, então 1 não entra.

Passo 4

Caso B: 2x-1<0. Isso equivale a
x < \tfrac{1}{2}.
Aqui |2x-1| = -(2x-1)=1-2x. A inequação passa a ser
1-2x < x.
Resolvendo:
1-2x < x \quad\Longrightarrow\quad 1 < 3x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{1}{3}.
Juntando com a condição do caso x<\tfrac{1}{2} e com x>0, obtemos para este caso o intervalo
\tfrac{1}{3} < x < \tfrac{1}{2}.
Verificação de extremos: em x=\tfrac{1}{3} dá igualdade ( |2x-1|=x), mas a desigualdade é estrita, então x=\tfrac{1}{3} não serve; x=\tfrac{1}{2} pertence ao outro caso e já foi analisado.

Passo 5

Agora unimos os resultados dos dois casos. A união dos intervalos encontrados é
\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right)\cup\left[\tfrac{1}{2},1\right)=\left(\tfrac{1}{3},1\right).
Podemos checar rapidamente alguns pontos:
  • x=0{,}25 (fora da solução) dá |2x-1|=0{,}5>0{,}25 → não satisfaz.
  • x=0{,}4 (dentro) dá |2x-1|=0{,}2<0{,}4 → satisfaz.
  • x=0{,}8 (dentro) dá |2x-1|=0{,}6<0{,}8 → satisfaz.

Resposta

\left(\tfrac{1}{3},1\right)

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