Determine o conjunto solução da equação: \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2 x & x+1 & 0 \\\\ 2 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 2-x & 0\end{array}\right|

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • A equação dada envolve três determinantes:
    • Um determinante 2\times2: \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right|.
    • Um determinante 3\times3: \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|.
    • Outro determinante 3\times3: \left|\begin{array}{ccc}2 x & x+1 & 0 \\\\ 2 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 2-x & 0\end{array}\right|.
  • A equação é
\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc}2 x & x+1 & 0 \\\\ 2 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 2-x & 0\end{array}\right|.
  • O que é pedido: determinar o conjunto solução da equação, ou seja, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Calcular o determinante 2\times2. Lembrete didático: para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado pela fórmula
\det = ad - bc.
Aqui, identificando a=2, b=1, c=x, d=x+1, temos
\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right| = 2\cdot (x+1) - 1\cdot x.
Agora efetuo a conta (vou escrever cada passo):
2\cdot (x+1) = 2x+2,
2x+2 - x = x+2.
Portanto
\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right| = x+2.

Passo 3

Calcular o determinante 3\times3
B=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|.
Vou usar a expansão pela primeira linha (método didático): se a primeira linha é (b_1,b_2,b_3), então
\det = b_1\cdot M_{11} - b_2\cdot M_{12} + b_3\cdot M_{13},
onde cada M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 obtido removendo a linha 1 e a coluna j.
Calculo cada menor:
  • Para b_1=1, o menor é
M_{11}=\left|\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right|=0\cdot0 - (-1)\cdot1 = 1.
  • Para b_2=2, o menor é (removendo coluna 2)
M_{12}=\left|\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right|=1
(é o mesmo valor numérico do anterior, por coincidência da matriz).
  • Para b_3=1, o menor é (removendo coluna 3)
M_{13}=\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right|=0\cdot1 - 0\cdot1 = 0.
Agora monto a expansão:
B = 1\cdot 1 - 2\cdot 1 + 1\cdot 0 = 1 - 2 + 0 = -1.
Então
\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = -1.

Passo 4

Multiplicar os dois determinantes do lado esquerdo. Já temos
\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\\ x & x+1\end{array}\right| = x+2 \quad\text{e}\quad \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = -1.
Logo o produto é
(x+2)\cdot(-1) = -(x+2) = -x-2.
Portanto o lado esquerdo da equação vale -x-2.

Passo 5

Analisar o determinante do lado direito. A matriz é
C=\left(\begin{array}{ccc}2 x & x+1 & 0 \\\\ 2 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 2-x & 0\end{array}\right).
Observação importante (fórmula/conceito): se uma coluna (ou linha) inteira de uma matriz é formada só por zeros, então o determinante dessa matriz é 0. Aqui a terceira coluna é (0,0,0)^{T}, ou seja, é a coluna zero. Logo
\left|\begin{array}{ccc}2 x & x+1 & 0 \\\\ 2 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 2-x & 0\end{array}\right| = 0.
(Explicação curta: expandindo pela terceira coluna cada cofator é multiplicado por 0, somando dá 0.)

Passo 6

Agora escrevo a equação com as expressões calculadas:
-x-2 = 0.
Resolver essa equação linear é direto. Somando x em ambos os lados e subtraindo 0 obtemos
-x-2=0 \quad\Rightarrow\quad -x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2.

Passo 7

Checagem e observações finais didáticas:
  • Verifiquei que o determinante intermediário B vale -1, que é diferente de zero; portanto não houve divisão por zero nem qualquer situação singular escondida no processo de multiplicar determinantes.
  • Todos os passos são válidos para qualquer x\in\mathbb{R}, exceto que o cálculo final impõe x=-2. Não há outras raízes escondidas.
  • Podemos também (se quiser confirmar) substituir x=-2 diretamente na equação original e ver que:
    • O primeiro determinante dá (-2)+2=0, então o lado esquerdo é 0\cdot(-1)=0.
    • O lado direito tem coluna de zeros, logo é 0.
    • Assim a igualdade fica 0=0, confirmando que x=-2 é solução.

Resposta

\{-2\}

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