Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: \left\{\begin{array}{r}a+2 b=0 \\\\ 3 a-b=0 \\\\ 5 a+3 b=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece um sistema de três equações lineares com duas incógnitas a\) e \(b\):
\[\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 3a-b=0,\\[4pt] 5a+3b=0. \end{cases}
O que se pede:
Classificar o sistema (por exemplo: homogêneo/inhomogêneo; consistente/inconsistente; número de soluções).
Resolver o sistema, ou seja, encontrar todos os pares ((a,b)] que satisfazem as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Primeira observação importante (conceito necessário): quando todas as constantes do lado direito das equações são zero, o sistema é chamado de sistema homogêneo. Aqui o sistema é homogêneo porque os termos à direita são todos 0. Uma propriedade útil de sistemas homogêneos é que sempre existe pelo menos a solução trivial
(a,b)=(0,0),
pois substituindo zeros nas equações todas ficam satisfeitas.
Outra ideia que vamos usar (explicação didática): para saber se existem outras soluções além da trivial, usamos a relação entre o número de incógnitas n e o posto (rank) da matriz dos coeficientes. Para um sistema homogêneo de n incógnitas:
se \operatorname{rank}=n então a única solução é a trivial;
se \operatorname{rank}<n então existem infinitas soluções não-triviais.
Aqui temos n=2 incógnitas (a e b). Se conseguirmos mostrar que o posto da matriz dos coeficientes é 2, isso garante que a única solução é a trivial.
Passo 3
Escolha do método: como o sistema é pequeno (duas incógnitas) a substituição direta ou eliminação de Gauss é rápida e pedagógica. Vou fazer substituição a partir de uma equação simples, resolver para uma variável e substituir nas outras, depois verificar consistência com a terceira equação. Isso é o que costuma ser feito numa prova sem calculadora.
Passo 4
Resolver por substituição passo a passo.
Da segunda equação temos isolamento de b:
3a-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=3a.
Agora substituímos b=3a na primeira equação:
a+2b=0 \quad\Rightarrow\quad a+2(3a)=0.
Calcule o lado esquerdo:
a+6a=7a.
Portanto
7a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Com a=0 usamos b=3a para obter
b=3\cdot 0 = 0.
Logo encontramos a solução (a,b)=(0,0).
Passo 5
Verificação com a terceira equação (sempre faça isso na prova para checar consistência):
5a+3b = 5\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0,
que coincide com o lado direito da terceira equação. Portanto a solução (0,0) satisfaz todas as três equações: o sistema é consistente.
Passo 6
Classificação via posto da matriz dos coeficientes (para reforçar o entendimento):
Como existe um menor 2\times2 não nulo, \operatorname{rank}(A)=2. Como o posto é igual ao número de incógnitas n=2, pelo argumento do Passo 2 o espaço nulo tem dimensão n-\operatorname{rank}=0, ou seja, a única solução do sistema homogêneo é a trivial.]
Passo 7
Conclusão final e motivação curta: o sistema é homogêneo e consistente; o posto da matriz dos coeficientes é igual ao número de incógnitas, então a única solução é a trivial (a,b)=(0,0). Pode ficar tranquilo: em provas, ao ver um sistema homogêneo, sempre teste se duas equações já fixam as incógnitas; se sim, cheque as restantes para confirmar que não há contradição.
Resposta
Sistema homogêneo e consistente, com solução única (trivial). (a,b)=(0,0)