Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: \left\{\begin{array}{rlrl}3 x-y & & =1 \\\\ 2 y-5 z & =-11 \\\ z & -t & =-1 \\\ x+y+z+t & =10\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede duas coisas: classificar o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e resolver (encontrar x,y,z,t).
Informações relevantes dadas: são quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,t. A tarefa é encontrar todas as soluções (se houver) e, com isso, determinar a classificação do sistema.]
Passo 2
Isolar variáveis fáceis: da primeira equação 3x-y=1 isolamos y. Para isolar, movemos termos e resolvemos para y:
Explicação didática: isolar uma variável significa escrever essa variável em função das outras; aqui foi só rearranjar subtraindo 3x de ambos os lados e multiplicando por -1.
Passo 3
Da terceira equação z-t=-1 isolamos z:
z-t=-1 \quad\Longrightarrow\quad z=t-1.
Novamente, é só somar t aos dois lados.
Passo 4
Substituir y e z nas equações restantes para reduzir o sistema. Começando na segunda equação 2y-5z=-11, substituímos y=3x-1 e z=t-1:
2(3x-1)-5(t-1)=-11.
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
6x-2-5t+5=-11,
6x-5t+3=-11,
6x-5t=-14.
Explicação didática: multiplicou-se os parênteses, agrupou termos semelhantes e isolou os termos em x e t.
Passo 5
Fazer a mesma substituição na quarta equação x+y+z+t=10 usando y=3x-1 e z=t-1:
x+(3x-1)+(t-1)+t=10.
Simplificando:
4x+2t-2=10,
4x+2t=12,
2x+t=6.
Explicação didática: dividiu-se por 2 para simplificar a equação, obtendo uma relação linear simples entre x e t.
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações em x\) e \(t\):
\[\begin{cases} 6x-5t=-14,\\[4pt] 2x+t=6. \end{cases}
Da segunda dessas equações isolamos t\]:
\[t=6-2x.\]
Substituímos em \(6x-5t=-14:
6x-5(6-2x)=-14.
Desenvolvendo:
6x-30+10x=-14,
16x-30=-14,
16x=16,
x=1.
Explicação didática: substituir reduz o número de incógnitas; depois isolou-se x resolvendo uma equação do 1º grau (somar/subtrair termos e dividir pelo coeficiente).]
Passo 7
Com x=1 voltamos para t=6-2x:
t=6-2\cdot1=4.
E usamos as expressões obtidas antes para y e z:
y=3x-1=3\cdot1-1=2,
z=t-1=4-1=3.
Portanto encontramos a solução (x,y,z,t)=(1,2,3,4).
Passo 8
Verificação rápida: substituir (1,2,3,4) nas quatro equações originais para checar consistência.
3x-y=3\cdot1-2=1 \quad\checkmark
2y-5z=2\cdot2-5\cdot3=4-15=-11 \quad\checkmark
z-t=3-4=-1 \quad\checkmark
x+y+z+t=1+2+3+4=10 \quad\checkmark
Todas as equações são satisfeitas, então a solução está correta.
Passo 9
Classificação: como existe exatamente uma solução (a encontrada), o sistema é compatível determinado. Explicação didática curta: “compatível” significa que há solução; “determinado” significa que a solução é única.