Determine o conjunto solução das equações abaixo:
-11^{2 x}+2 \cdot 11^{x}+3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
-11^{2x}+2\cdot 11^{x}+3=0
O conteúdo é “equação exponencial” e vamos usar a técnica de substituição para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Observamos que
11^{2x} = \bigl(11^{x}\bigr)^{2}.
Fazendo a substituição
y = 11^{x},
onde necessariamente y>0, a equação original vira
-\,y^{2} + 2\,y + 3 = 0.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por -1 para obter a forma padrão da equação quadrática:
y^{2} - 2\,y - 3 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
Assim, os candidatos são
y_{1} = \frac{2+4}{2} = 3, \quad y_{2} = \frac{2-4}{2} = -1.

Passo 4

Como y = 11^{x} deve ser positivo, descartamos y_{2}=-1. Resta
11^{x} = 3.
Tomando logaritmo de base 11 em ambos os lados, obtemos
x = \log_{11}(3).

Resposta

\{\,\log_{11}(3)\}

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