Resolva:
\left\{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, \\\ y(0)=1, \\\ y^{\prime}(0)=1 . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 1 + 8 = 9.
As raízes são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2},
portanto
r_1 = 1, \quad r_2 = -2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x}
ou seja
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-2x}.

Passo 4

Derivando para obter y'(x), temos
y'(x) = C_{1}e^{x} - 2\,C_{2}e^{-2x}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
  1. De y(0)=1:
C_{1} + C_{2} = 1.
  1. De y'(0)=1:
C_{1} - 2\,C_{2} = 1.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\\ C_{1} - 2\,C_{2} = 1, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira, obtemos -3C_{2}=0, logo C_{2}=0. Então C_{1}=1.

Resposta

y(x) = e^{x}.

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