Determine o conjunto solução das equações:
\frac{x-b}{a}+\frac{x}{a+b}=2

Passo 1

O enunciado pede o conjunto–solução de
\frac{x - b}{a} + \frac{x}{a + b} = 2
onde precisamos ter a \neq 0 e a + b \neq 0 para que as frações estejam definidas. O conteúdo aqui é resolução de equações fracionárias: vamos encontrar um denominador comum, eliminar as frações e resolver a equação resultante, analisando também possíveis casos degenerados.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por a(a+b), que é o mínimo múltiplo comum dos denominadores, obtendo
(a+b)\,(x - b) + a\,x = 2\,a\,(a+b).

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo:
(a+b)x - b(a+b) + a x = 2a(a+b)
Agrupando os termos em x:
\bigl((a+b)+a\bigr)x - b(a+b) = 2a(a+b)
ou seja
(2a + b)\,x - b(a+b) = 2a(a+b).

Passo 4

Isolando x:
(2a+b)\,x = 2a(a+b) + b(a+b) = (a+b)\,(2a+b)
Se 2a + b \neq 0, podemos dividir ambos os lados por 2a+b e encontramos
x = \frac{(a+b)\,(2a+b)}{2a+b} = a+b.

Passo 5

Há um caso especial quando 2a+b=0. Nesse caso, o coeficiente de x na equação é zero, e a equação do Passo 3 vira
0\cdot x - b(a+b) = 2a(a+b).
Mas se 2a+b=0 então b=-2a, e a+b = a-2a = -a\neq0 (pois a\neq0). Substituindo em
-b(a+b)= -(-2a)\,(-a)= -2a^2 \quad\text{e}\quad 2a(a+b)=2a(-a)= -2a^2,
vemos que a igualdade
-2a^2 = -2a^2
é verdadeira para qualquer x. Ou seja, quando 2a+b=0, toda x\in\mathbb{R} satisfaz a equação.

Resposta

Se 2a + b \neq 0, então
\{x\} = \{\,a + b\}.
Se 2a + b = 0, então
\{x\} = \mathbb{R}.

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