Determine o conjunto solução das inequações:
Passo 1
O enunciado nos dá uma inequação composta e pede o conjunto solução. As informações fornecidas são:
- A inequação composta é
O que se pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades presentes na expressão acima.
Passo 2
Lembrete sobre operações com inequações (coisa importante para a prova):
- Somar ou subtrair o mesmo número em todos os membros de uma inequação preserva as desigualdades.
- Multiplicar ou dividir todos os membros por um número positivo preserva as desigualdades.
- Multiplicar ou dividir todos os membros por um número negativo inverte (troca) o sentido de todas as desigualdades.
Aqui temos uma inequação composta com três termos; podemos aplicar as mesmas operações em todas as três partes ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos isolar a parte que contém
. Primeiro subtraímos
de todos os membros (operações válidas e simples):
Subtraindo
em todo lugar:
Calculando as subtrações:
Passo 4
Agora queremos eliminar o denominador
. Uma forma prática é multiplicar todos os membros por
(observe que
é negativo, então vamos inverter os sinais das desigualdades). Multiplicando cada termo por
:
Note que os sinais das desigualdades ficaram invertidos (o primeiro
virou
, e o segundo
virou
) por causa da multiplicação por número negativo.
Passo 5
Agora calculamos cada produto:
É mais usual escrever a desigualdade com o limite menor à esquerda, então reorganizamos:
Passo 6
Verificação rápida dos extremos (bom hábito para a prova):
- Para
: . A desigualdade original é , que é verdadeira (o lado direito permite igualdade), então pertence ao conjunto solução. - Para
: . A desigualdade original seria , que é falsa (o falha), então não pertence ao conjunto solução. - Um ponto interior, por exemplo
: . Temos , verdadeiro — bom sinal.