Determine o conjunto solução das inequações:
2<4-\frac{x}{2} \leq 6

Passo 1

O enunciado nos dá uma inequação composta e pede o conjunto solução. As informações fornecidas são:
  • A inequação composta é 2 < 4 - \frac{x}{2} \leq 6.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades presentes na expressão acima.

Passo 2

Lembrete sobre operações com inequações (coisa importante para a prova):
  • Somar ou subtrair o mesmo número em todos os membros de uma inequação preserva as desigualdades.
  • Multiplicar ou dividir todos os membros por um número positivo preserva as desigualdades.
  • Multiplicar ou dividir todos os membros por um número negativo inverte (troca) o sentido de todas as desigualdades.
    Aqui temos uma inequação composta com três termos; podemos aplicar as mesmas operações em todas as três partes ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos isolar a parte que contém x. Primeiro subtraímos 4 de todos os membros (operações válidas e simples):
2 < 4 - \frac{x}{2} \leq 6
Subtraindo 4 em todo lugar:
2-4 < 4 - \frac{x}{2}-4 \leq 6-4
Calculando as subtrações:
-2 < -\frac{x}{2} \leq 2.

Passo 4

Agora queremos eliminar o denominador \tfrac{1}{2}. Uma forma prática é multiplicar todos os membros por -2 (observe que -2 é negativo, então vamos inverter os sinais das desigualdades). Multiplicando cada termo por -2:
(-2)\cdot(-2) \; \; > \; \; (-2)\cdot\left(-\frac{x}{2}\right) \; \; \ge \; \; (-2)\cdot 2.
Note que os sinais das desigualdades ficaram invertidos (o primeiro < virou >, e o segundo \le virou \ge) por causa da multiplicação por número negativo.

Passo 5

Agora calculamos cada produto:
4 \;>\; x \;\ge\; -4.
É mais usual escrever a desigualdade com o limite menor à esquerda, então reorganizamos:
-4 \le x < 4.

Passo 6

Verificação rápida dos extremos (bom hábito para a prova):
  • Para x=-4: \displaystyle 4-\frac{(-4)}{2}=4+2=6. A desigualdade original é 2<6\le6, que é verdadeira (o lado direito permite igualdade), então x=-4 pertence ao conjunto solução.
  • Para x=4: \displaystyle 4-\frac{4}{2}=4-2=2. A desigualdade original seria 2<2\le6, que é falsa (o 2<2 falha), então x=4 não pertence ao conjunto solução.
  • Um ponto interior, por exemplo x=0: \displaystyle 4-\frac{0}{2}=4. Temos 2<4\le6, verdadeiro — bom sinal.

Resposta

[-4,4)

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