Determine o conjunto solução das inequações:
-5 \leq-2 x+3<9

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade composta
-5 \leq -2x + 3 < 9
e pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. As informações relevantes são:
  • A expressão central é -2x+3.
  • A desigualdade tem formato composto com um sinal de \leq à esquerda e um sinal de < à direita.
    A resolução começa isolando x mantendo ambas as partes verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 2

Lembrete sobre operações com desigualdades (aula curta e prática):
  • Somar ou subtrair a mesma quantidade em todos os membros de uma desigualdade preserva as relações. Exemplo: se a \le b, então a+c \le b+c.
  • Multiplicar ou dividir TODOS os membros por um número positivo também preserva as desigualdades.
  • Mas, se multiplicar ou dividir TODOS os membros por um número negativo, os sinais das desigualdades trocam de direção. Exemplo prático: se 2 \le 4x e dividirmos por 4>0, fica \tfrac{1}{2} \le x. Se tivéssemos -2 \le 4x e dividíssemos por -4 (negativo), teríamos \tfrac{1}{2} \ge x — note a inversão do sinal.
    Essa inversão ocorre porque multiplicar por um número negativo inverte a ordem numa reta numérica.

Passo 3

Primeira operação: subtrair 3 de todos os termos para eliminar o +3 no centro. Aplicando a regra de soma/subtração mencionada:
-5 \leq -2x + 3 < 9
\Downarrow
-5 - 3 \leq -2x + 3 - 3 < 9 - 3
\Downarrow
-8 \leq -2x < 6
Aqui apenas subtraímos 3 em cada membro; as desigualdades permaneceram com as mesmas direções.

Passo 4

Segunda operação: dividir todos os termos por -2 para isolar x. Como estamos dividindo por um número negativo, devemos inverter ambos os sinais de desigualdade (regra explicada no Passo 2). Assim:
-8 \leq -2x < 6
\Downarrow
\frac{-8}{-2} \geq x > \frac{6}{-2}
Agora calculamos as frações:
4 \geq x > -3
É mais habitual escrever com o menor à esquerda; então reescrevendo:
-3 < x \leq 4

Passo 5

Interpretação e checagens rápidas (para ganhar confiança):
  • Teste x=0: -2\cdot 0 + 3 = 3. Verifica -5 \le 3 < 9. OK.
  • Teste x=-3: -2(-3)+3 = 9. A desigualdade exige -2x+3<9, então x=-3 não é permitido (porque dá igualdade com 9 e a parte da direita é estrita).
  • Teste x=4: -2\cdot4+3 = -5. A desigualdade da esquerda é -5 \le -2x+3, então x=4 é permitido.
    Portanto a solução está correta como -3 < x \leq 4.

Resposta

(-3,4]

Exercícios relacionados