Determine o conjunto solução das inequações:
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade composta
e pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de
que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. As informações relevantes são:
- A expressão central é
. - A desigualdade tem formato composto com um sinal de
à esquerda e um sinal de à direita.
A resolução começa isolandomantendo ambas as partes verdadeiras ao mesmo tempo.
Passo 2
Lembrete sobre operações com desigualdades (aula curta e prática):
- Somar ou subtrair a mesma quantidade em todos os membros de uma desigualdade preserva as relações. Exemplo: se
, então . - Multiplicar ou dividir TODOS os membros por um número positivo também preserva as desigualdades.
- Mas, se multiplicar ou dividir TODOS os membros por um número negativo, os sinais das desigualdades trocam de direção. Exemplo prático: se
e dividirmos por , fica . Se tivéssemos e dividíssemos por (negativo), teríamos — note a inversão do sinal.
Essa inversão ocorre porque multiplicar por um número negativo inverte a ordem numa reta numérica.
Passo 3
Primeira operação: subtrair
de todos os termos para eliminar o
no centro. Aplicando a regra de soma/subtração mencionada:
Aqui apenas subtraímos
em cada membro; as desigualdades permaneceram com as mesmas direções.
Passo 4
Segunda operação: dividir todos os termos por
para isolar
. Como estamos dividindo por um número negativo, devemos inverter ambos os sinais de desigualdade (regra explicada no Passo 2). Assim:
Agora calculamos as frações:
É mais habitual escrever com o menor à esquerda; então reescrevendo:
Passo 5
Interpretação e checagens rápidas (para ganhar confiança):
- Teste
: . Verifica . OK. - Teste
: . A desigualdade exige , então não é permitido (porque dá igualdade com e a parte da direita é estrita). - Teste
: . A desigualdade da esquerda é , então é permitido.
Portanto a solução está correta como.