Determine o conjunto solução em R da equação irracional raiz2 x-1+raiz3 x+1=7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação irracional raiz2x - 1 + raiz3x + 1 = 7. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação no conjunto dos números reais ( R). Para resolver isso, vamos trabalhar com propriedades de radiciação e equações, além de verificar as condições necessárias para que as raízes sejam válidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as restrições para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Ou seja:
2x - 1 >= 0 e 3x + 1 >= 0
Vamos resolver essas desigualdades:
Para 2x - 1 >= 0:
2x >= 1 implies x >= 12
Para 3x + 1 >= 0:
3x >= -1 implies x >= -13
Então, a interseção dessas condições é x >= 12. Isso significa que somente valores de x maiores ou iguais a 12 são possíveis soluções.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação raiz2x - 1 + raiz3x + 1 = 7. Para facilitar, vamos isolar uma das raízes. Vamos isolar raiz3x + 1:
raiz3x + 1 = 7 - raiz2x - 1

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
(raiz3x + 1)^2 = (7 - raiz2x - 1)^2
Isso simplifica para:
3x + 1 = 49 - 14raiz2x - 1 + (2x - 1)

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
3x + 1 = 49 - 14raiz2x - 1 + 2x - 1
Juntando os termos semelhantes:
3x + 1 = 48 + 2x - 14raiz2x - 1
Agora, vamos isolar os termos com a raiz:
3x + 1 - 2x - 48 = -14raiz2x - 1
Simplificando:
x - 47 = -14raiz2x - 1
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
- x + 47 = 14raiz2x - 1

Passo 6

Agora, vamos novamente eliminar a raiz quadrada. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
(-x + 47)^2 = (14raiz2x - 1)^2
Simplificando:
x^2 - 94x + 2209 = 196(2x - 1)

Passo 7

Distribuindo o 196:
x^2 - 94x + 2209 = 392x - 196
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
x^2 - 94x + 2209 - 392x + 196 = 0
Simplificando:
x^2 - 486x + 2405 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -486, e c = 2405. Calculando o discriminante ( De):
De
Então,
x = 486 pm raiz2265762 = 486 pm 4762
Isso nos dá duas soluções:
x = 486 + 4762 = 9622 = 481
x = 486 - 4762 = 102 = 5

Passo 9

Precisamos verificar se essas soluções satisfazem a equação original e respeitam as restrições de x >= 12.
Para x = 481:
raiz2(481) - 1 + raiz3(481) + 1 = raiz961 + raiz1444 = 31 + 38 = 69 neq 7
Não é solução válida.
Para x = 5:
raiz2(5) - 1 + raiz3(5) + 1 = raiz10 - 1 + raiz15 + 1 = raiz9 + raiz16 = 3 + 4 = 7
Igual a 7, então x = 5 é uma solução válida.

Resposta

O conjunto solução em R da equação é x = 5.

Exercícios relacionados