Determine o conjunto solução em
da equação irracional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação irracional
. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação no conjunto dos números reais (
). Para resolver isso, vamos trabalhar com propriedades de radiciação e equações, além de verificar as condições necessárias para que as raízes sejam válidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as restrições para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Ou seja:
Vamos resolver essas desigualdades:
Para
:
Para
:
Então, a interseção dessas condições é
. Isso significa que somente valores de
maiores ou iguais a
são possíveis soluções.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Para facilitar, vamos isolar uma das raízes. Vamos isolar
:
Passo 4
Em seguida, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos isolar os termos com a raiz:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos novamente eliminar a raiz quadrada. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 7
Distribuindo o 196:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 9
Precisamos verificar se essas soluções satisfazem a equação original e respeitam as restrições de
.
Para
:
Não é solução válida.
Para
:
Igual a 7, então
é uma solução válida.
Resposta
O conjunto solução em
da equação é
.