Determine todos os pontos criticos da função:
Analise a natureza deles (máximo, mínimo ou ponto sela) utilizando o teste da segunda derivada (criterio do Hessiano).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} + 3x y^{2} -15x -12 y $ e precisa encontrar todos os pontos críticos dela. Depois, vamos descobrir se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada, que envolve o hessiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São pontos onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar essas equações. Na segunda equação, podemos dividir por 6:
Passo 4
Substituindo $ y = \frac{2}{x} $ na primeira equação:
Vamos multiplicar toda a equação por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
Passo 5
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
Vamos fazer a substituição $ z = x^{2} $, então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, $ z = 4 $ ou $ z = 1 $, o que significa que $ x^{2} = 4 $ ou $ x^{2} = 1 $.
Portanto, $ x = \pm 2 $ ou $ x = \pm 1 $.
Passo 6
Vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes usando $ y = \frac{2}{x} $:
- Se $ x = 2 $, então $ y = \frac{2}{2} = 1 $.
- Se $ x = -2 $, então $ y = \frac{2}{-2} = -1 $.
- Se $ x = 1 $, então $ y = \frac{2}{1} = 2 $.
- Se $ x = -1 $, então $ y = \frac{2}{-1} = -2 $.
Então, os pontos críticos são:
Passo 7
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O hessiano $ H $ é dado por:
Vamos calcular $ H $ para cada ponto crítico.
Passo 8
Vamos analisar cada ponto:
- Ponto (2, 1):
Como $ H > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, esse ponto é um mínimo.
- Ponto (-2, -1):
Como $ H > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, esse ponto é um máximo.
- Ponto (1, 2):
Como $ H < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto (-1, -2):
Como $ H < 0 $, esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
que é um mínimo. -
que é um máximo. -
e que são pontos de sela.