Determine todos os pontos criticos da função:
f(x, y)=x^3+3 x y^2-15 x-12 y
Analise a natureza deles (máximo, mínimo ou ponto sela) utilizando o teste da segunda derivada (criterio do Hessiano).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} + 3x y^{2} -15x -12 y $ e precisa encontrar todos os pontos críticos dela. Depois, vamos descobrir se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada, que envolve o hessiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São pontos onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema de equações:
3x^2 + 3y^2 -15 = 0 6xy -12 = 0
Vamos simplificar essas equações. Na segunda equação, podemos dividir por 6:
xy = 2 Rightarrow y = 2x

Passo 4

Substituindo $ y = \frac{2}{x} $ na primeira equação:
y = 2x
Vamos multiplicar toda a equação por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
3x^2 + 3(2x)^2 -15 = 0 3x^2 + 3(4x^2) -15 = 0 3x^2 + 12x^2 -15 = 0

Passo 5

Dividindo a equação por 3 para simplificar:
x^4 -5x^2 +4 = 0
Vamos fazer a substituição $ z = x^{2} $, então a equação fica:
z = x^2
Resolvendo a equação quadrática:
z^2 -5z +4 = 0
Então, $ z = 4 $ ou $ z = 1 $, o que significa que $ x^{2} = 4 $ ou $ x^{2} = 1 $.
Portanto, $ x = \pm 2 $ ou $ x = \pm 1 $.

Passo 6

Vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes usando $ y = \frac{2}{x} $:
  • Se $ x = 2 $, então $ y = \frac{2}{2} = 1 $.
  • Se $ x = -2 $, então $ y = \frac{2}{-2} = -1 $.
  • Se $ x = 1 $, então $ y = \frac{2}{1} = 2 $.
  • Se $ x = -1 $, então $ y = \frac{2}{-1} = -2 $.
Então, os pontos críticos são:
y

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6x fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6y
O hessiano $ H $ é dado por:
H
Vamos calcular $ H $ para cada ponto crítico.

Passo 8

Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto (2, 1):
fxx = 6(2) = 12 fyy = 6(2) = 12 fxy = 6(1) = 6 H = 12 times 12 - 6^2 = 144 - 36 = 108 > 0
Como $ H > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, esse ponto é um mínimo.
  1. Ponto (-2, -1):
H > 0
Como $ H > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, esse ponto é um máximo.
  1. Ponto (1, 2):
fxx > 0
Como $ H < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1, -2):
fxx = 6(-2) = -12 fyy = 6(-2) = -12 fxy = 6(-1) = -6 H = (-12) times (-12) - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 > 0
Como $ H < 0 $, esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • (2, 1) que é um mínimo.
  • (-2, -1) que é um máximo.
  • (1, 2) e (-1, -2) que são pontos de sela.

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