Suponha que, para todo t in R, f(t^2, 3 t)=3 t^4+t, onde f(x, y) é diferenciável em R^2.
Calcule partial fpartial x(1,3), admitindo que partial fpartial y(1,3)=1.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com uma função diferenciável $ f(x, y) $ em $ \mathbb{R}^2 $. O enunciado nos dá que, para todo $ t \in \mathbb{R} $, a função satisfaz:
f(x, y)
Precisamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 3) $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) $, sabendo que $ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1 $.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, já que $ f $ depende de $ t $ através de $ x = t^2 $ e $ y = 3t $.

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia
Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
t
Pela regra da cadeia, a derivada da esquerda é:
ddtf(t^2, 3t) = ddt(3t^4 + t)
Sabemos que:
partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
x = t^2 Rightarrow dxdt = 2t
Portanto:
y = 3t Rightarrow dydt = 3

Passo 3

Encontrando o Valor de $ t $ Correspondente a $ (1, 3) $
Queremos calcular as derivadas no ponto $ (1, 3) $. Sabemos que:
t
(1, 3)
Portanto, $ t = 1 $ é o valor que corresponde ao ponto $ (1, 3) $.

Passo 4

Substituindo os Valores na Equação Derivada
Substituímos $ t = 1 $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1 $ na equação derivada:
t = 1
Simplificando:
partial fpartial y(1, 3) = 1

Passo 5

Resolvendo para $ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) $
Isolamos $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x(1, 3)
partial fpartial x
2 partial fpartial x = 13 - 3

Resposta

partial fpartial x(1, 3) = 5

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