Suponha que, para todo
, onde
é diferenciável em
.
Calcule
, admitindo que
.
Calcule
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com uma função diferenciável $ f(x, y) $ em $ \mathbb{R}^2 $. O enunciado nos dá que, para todo $ t \in \mathbb{R} $, a função satisfaz:
Precisamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 3) $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) $, sabendo que $ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1 $.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, já que $ f $ depende de $ t $ através de $ x = t^2 $ e $ y = 3t $.
Passo 2
Aplicando a Regra da Cadeia
Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Pela regra da cadeia, a derivada da esquerda é:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Encontrando o Valor de $ t $ Correspondente a $ (1, 3) $
Queremos calcular as derivadas no ponto $ (1, 3) $. Sabemos que:
Portanto, $ t = 1 $ é o valor que corresponde ao ponto $ (1, 3) $.
Passo 4
Substituindo os Valores na Equação Derivada
Substituímos $ t = 1 $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1 $ na equação derivada:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para $ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) $
Isolamos $ \frac{\partial f}{\partial x} $: