- Determine o conjunto solução real das inequações:
.
a)
b)
c)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
e)
f)
g)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução real das seguintes inequações (cada item é independente):
- Resolver
- (a) Resolver
- (b) Resolver
- (c) Resolver
- (e) Resolver
- (f) Resolver
- (g) Resolver
Informações relevantes que temos para todos os itens:
- As expressões absolutas mudam de forma nos pontos onde o argumento é zero. Portanto cada inequação será tratada por casos, que são os intervalos determinados pelas raízes internas das funções absolutas (por exemplo
é ponto crítico para , etc.). - Em cada caso substitui-se
por ou por conforme o sinal do argumento e resolve-se a inequação resultante (que fica sem valor absoluto). No final faz-se a interseção com o intervalo do caso.
Passo 2
Resolver
Explico como fazer: uma desigualdade composta com módulo
significa duas condições simultâneas:
Primeiro
equivale a
ou
, isto é
ou
.
Segundo equivale a
, isto é
.
Agora intersectamos as duas condições:
Segundo
Agora intersectamos as duas condições:
- Interseção com
e dá . - Interseção com
e dá .
Logo a solução é a união dos dois intervalos:
Passo 3
Resolver (a)
Pontos críticos:
e
. Dividimos em três casos:
Caso 1:
.
- Aqui
e . - Substituindo:
. - A inequação fica
, ou seja . - Interseção com
dá .
Caso 2:
.
- Aqui
e . - Substituindo:
. - A inequação fica
. - Interseção com
dá .
Caso 3:
.
- Aqui
e . - Substituindo:
. - A inequação fica
. - Interseção com
dá .
Unindo todas as soluções obtidas nos casos temos
Podemos simplificar
(observe que
está em
portanto está incluído). Assim a solução final é
Passo 4
Resolver (b)
Pontos críticos:
(onde
) e
(onde
). Três intervalos:
Caso 1:
.
- Aqui
e , então e . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Caso 2:
.
- Aqui
e , então e . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Caso 3:
.
- Aqui
e , então e . - LHS =
. - Inequação:
que é verdadeira para todo . - Interseção com
dá todo .
Unindo os casos:
,
, e
. Os dois últimos se juntam para
. Portanto a solução é
Passo 5
Resolver (c)
Pontos críticos:
e
. Três intervalos:
Caso 1:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Caso 2:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Caso 3:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Juntando os resultados dos três casos:
-
, -
, -
.
Unindo os dois últimos intervalos em um só
(pois incluem
), a solução total é
Passo 6
Resolver (e)
Pontos críticos:
e
. Três intervalos:
Caso 1:
.
-
, (pois quando ). - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Caso 2:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
não contém soluções (contradição). Logo nenhum neste intervalo.
Caso 3:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - Interseção com
dá .
Juntando:
ou
. Portanto a solução é
Passo 7
Resolver (f)
Pontos críticos:
e
. Três intervalos:
Caso 1:
.
-
, . - Sinal interno:
. - LHS =
. - Inequação:
. Ou seja . - A quadrática
tem discriminante negativo ( ), portanto é sempre positiva. Logo a inequação é verdadeira para todo . - Resultado: todo
satisfaz.
Caso 2:
.
-
, . - Sinal interno:
. - LHS =
. - Inequação:
. - Isto equivale a
ou . No intervalo só satisfaz, isto é .
Caso 3:
.
-
, . - Sinal interno:
. - LHS =
. - Inequação:
. - Fatorando:
. A solução é ou . No nosso intervalo temos então . - Resultado:
.
Unindo todos os casos:
,
e
. Consolidando os primeiros dois dá
. Portanto a solução final é
Passo 8
Resolver (g)
Pontos críticos:
e
. Três intervalos:
Caso 1:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - A quadrática
tem raízes aproximadas em e . A desigualdade vale para . - No entanto estamos em
, que não intersecta esse intervalo; logo não há solução em .
Caso 2:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - A quadrática
tem discriminante negativo ( ), é sempre positiva; então para todo , e a desigualdade nunca ocorre. - Portanto não há solução neste intervalo.
Caso 3:
.
-
, . - LHS =
. - Inequação:
. - A quadrática
tem discriminante negativo ( ) e é sempre positiva; logo a desigualdade é impossível em todo . - Assim não há solução neste intervalo.
Concluímos que não existem
que satisfaçam a inequação (g). A solução é o conjunto vazio.