1. Determine o conjunto solução real das inequações:
    1<|x-3|<4.
    a) |x+2|-|x-3|>x
    b) |3 x+2|-|2 x-1|>x+1
    c) |x-2|-|x+4| \leqslant 1-x
    e) |x+2|+|2 x-2|>x+8
    f) 3\{|x+1|-|x-1|\} \leqslant 2 x^{2}-4 x
    g) |x-2|-|x+3|>x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução real das seguintes inequações (cada item é independente):
  • Resolver \,1<|x-3|<4\,.
  • (a) Resolver \,|x+2|-|x-3|>x\,.
  • (b) Resolver \,|3x+2|-|2x-1|>x+1\,.
  • (c) Resolver \,|x-2|-|x+4|\leqslant 1-x\,.
  • (e) Resolver \,|x+2|+|2x-2|>x+8\,.
  • (f) Resolver \,3\{\;|x+1|-|x-1|\;\}\leqslant 2x^{2}-4x\,.
  • (g) Resolver \,|x-2|-|x+3|>x^{2}-4x+3\,.
Informações relevantes que temos para todos os itens:
  • As expressões absolutas mudam de forma nos pontos onde o argumento é zero. Portanto cada inequação será tratada por casos, que são os intervalos determinados pelas raízes internas das funções absolutas (por exemplo x=3 é ponto crítico para |x-3|, etc.).
  • Em cada caso substitui-se |\cdot| por + ou por - conforme o sinal do argumento e resolve-se a inequação resultante (que fica sem valor absoluto). No final faz-se a interseção com o intervalo do caso.

Passo 2

Resolver \,1<|x-3|<4\,.
Explico como fazer: uma desigualdade composta com módulo 1<|x-3|<4 significa duas condições simultâneas:
|x-3|>1 \qquad\text{e}\qquad |x-3|<4.
Primeiro |x-3|>1 equivale a x-3>1 ou x-3<-1, isto é x>4 ou x<2.
Segundo |x-3|<4 equivale a -4<x-3<4, isto é -1<x<7.
Agora intersectamos as duas condições:
  • Interseção com x>4 e -1<x<7 4<x<7.
  • Interseção com x<2 e -1<x<7 -1<x<2.
    Logo a solução é a união dos dois intervalos:
(-1,2)\\ \cup\\ (4,7).

Passo 3

Resolver (a) \,|x+2|-|x-3|>x\,.
Pontos críticos: x=-2 e x=3. Dividimos em três casos:
Caso 1: x\leqslant -2.
  • Aqui |x+2|=-(x+2)=-x-2 e |x-3|=-(x-3)=-x+3.
  • Substituindo: (-x-2)-(-x+3)=-5.
  • A inequação fica -5>x, ou seja x<-5.
  • Interseção com x\leqslant -2 x<-5.
Caso 2: -2<x\leqslant 3.
  • Aqui |x+2|=x+2 e |x-3|=-(x-3)=-x+3.
  • Substituindo: (x+2)-(-x+3)=2x-1.
  • A inequação fica 2x-1>x\Rightarrow x>1.
  • Interseção com -2<x\leqslant 3 1<x\leqslant 3.
Caso 3: x>3.
  • Aqui |x+2|=x+2 e |x-3|=x-3.
  • Substituindo: (x+2)-(x-3)=5.
  • A inequação fica 5>x\Rightarrow x<5.
  • Interseção com x>3 3<x<5.
Unindo todas as soluções obtidas nos casos temos
(-\infty,-5)\\ \cup\\ (1,3]\\ \cup\\ (3,5).
Podemos simplificar (1,3]\cup(3,5)=(1,5) (observe que 3 está em (1,3] portanto está incluído). Assim a solução final é
(-\infty,-5)\\ \cup\\ (1,5).

Passo 4

Resolver (b) \,|3x+2|-|2x-1|>x+1\,.
Pontos críticos: x=-\tfrac{2}{3} (onde 3x+2=0) e x=\tfrac{1}{2} (onde 2x-1=0). Três intervalos:
Caso 1: x\leqslant -\tfrac{2}{3}.
  • Aqui 3x+2\le0 e 2x-1<0, então |3x+2|=-3x-2 e |2x-1|=-2x+1.
  • LHS = (-3x-2)-(-2x+1)=-x-3.
  • Inequação: -x-3>x+1\Rightarrow -2x>4\Rightarrow x<-2.
  • Interseção com x\le -\tfrac{2}{3} x<-2.
Caso 2: -\tfrac{2}{3}<x\leqslant \tfrac{1}{2}.
  • Aqui 3x+2>0 e 2x-1\le 0, então |3x+2|=3x+2 e |2x-1|=-2x+1.
  • LHS = (3x+2)-(-2x+1)=5x+1.
  • Inequação: 5x+1>x+1\Rightarrow 4x>0\Rightarrow x>0.
  • Interseção com -\tfrac{2}{3}<x\le \tfrac{1}{2} 0<x\le \tfrac{1}{2}.
Caso 3: x>\tfrac{1}{2}.
  • Aqui 3x+2>0 e 2x-1>0, então |3x+2|=3x+2 e |2x-1|=2x-1.
  • LHS = (3x+2)-(2x-1)=x+3.
  • Inequação: x+3>x+1 que é verdadeira para todo x.
  • Interseção com x>\tfrac{1}{2} dá todo x>\tfrac{1}{2}.
Unindo os casos: x<-2, 0<x\le\tfrac{1}{2}, e x>\tfrac{1}{2}. Os dois últimos se juntam para x>0. Portanto a solução é
(-\infty,-2)\\ \cup\\ (0,\infty).

Passo 5

Resolver (c) \,|x-2|-|x+4|\leqslant 1-x\,.
Pontos críticos: x=-4 e x=2. Três intervalos:
Caso 1: x\leqslant -4.
  • |x-2|=-(x-2)=-x+2, |x+4|=-(x+4)=-x-4.
  • LHS = (-x+2)-(-x-4)=6.
  • Inequação: 6\le 1-x\Rightarrow -x\ge 5\Rightarrow x\le -5.
  • Interseção com x\le -4 x\le -5.
Caso 2: -4<x\le 2.
  • |x-2|=-(x-2)=-x+2, |x+4|=x+4.
  • LHS = (-x+2)-(x+4)=-2x-2.
  • Inequação: -2x-2\le 1-x\Rightarrow -2x + x \le 1+2\Rightarrow -x\le 3\Rightarrow x\ge -3.
  • Interseção com -4<x\le 2 -3\le x\le 2.
Caso 3: x>2.
  • |x-2|=x-2, |x+4|=x+4.
  • LHS = (x-2)-(x+4)=-6.
  • Inequação: -6\le 1-x\Rightarrow -6-1\le -x\Rightarrow -7\le -x\Rightarrow x\le 7.
  • Interseção com x>2 2< x\le 7.
Juntando os resultados dos três casos:
  • x\le -5,
  • -3\le x\le 2,
  • 2< x\le 7.
Unindo os dois últimos intervalos em um só [-3,7] (pois incluem 2), a solução total é
(-\infty,-5]\\ \cup\\ [-3,7].

Passo 6

Resolver (e) \,|x+2|+|2x-2|>x+8\,.
Pontos críticos: x=-2 e x=1. Três intervalos:
Caso 1: x\leqslant -2.
  • |x+2|= -x-2, |2x-2|= -2x+2 (pois 2x-2<0 quando x<1).
  • LHS = (-x-2)+(-2x+2)=-3x.
  • Inequação: -3x>x+8\Rightarrow -4x>8\Rightarrow x< -2.
  • Interseção com x\le -2 x< -2.
Caso 2: -2<x\le 1.
  • |x+2|=x+2, |2x-2|= -2x+2.
  • LHS = (x+2)+(-2x+2)=-x+4.
  • Inequação: -x+4>x+8\Rightarrow -2x>4\Rightarrow x< -2.
  • Interseção com -2<x\le1 não contém soluções (contradição). Logo nenhum x neste intervalo.
Caso 3: x>1.
  • |x+2|=x+2, |2x-2|=2x-2.
  • LHS = (x+2)+(2x-2)=3x.
  • Inequação: 3x>x+8\Rightarrow 2x>8\Rightarrow x>4.
  • Interseção com x>1 x>4.
Juntando: x< -2 ou x>4. Portanto a solução é
(-\infty,-2)\\ \cup\\ (4,\infty).

Passo 7

Resolver (f) \,3\{\;|x+1|-|x-1|\;\}\leqslant 2x^{2}-4x\,.
Pontos críticos: x=-1 e x=1. Três intervalos:
Caso 1: x\le -1.
  • |x+1|= -x-1, |x-1|=-x+1.
  • Sinal interno: |x+1|-|x-1| = (-x-1)-(-x+1)=-2.
  • LHS = 3\cdot(-2)=-6.
  • Inequação: -6\le 2x^{2}-4x. Ou seja 2x^{2}-4x+6\ge 0.
  • A quadrática 2x^{2}-4x+6 tem discriminante negativo ( \Delta= (-4)^{2}-4\cdot2\cdot6=16-48=-32), portanto é sempre positiva. Logo a inequação é verdadeira para todo x\le -1.
  • Resultado: todo x\le -1 satisfaz.
Caso 2: -1<x\le 1.
  • |x+1|=x+1, |x-1|=-x+1.
  • Sinal interno: |x+1|-|x-1|=(x+1)-(-x+1)=2x.
  • LHS = 3\cdot 2x =6x.
  • Inequação: 6x\le 2x^{2}-4x\Rightarrow 0\le 2x^{2}-10x = 2x(x-5).
  • Isto equivale a x\le 0 ou x\ge 5. No intervalo -1<x\le 1 -1<x\le 0 satisfaz, isto é (-1,0].
Caso 3: x>1.
  • |x+1|=x+1, |x-1|=x-1.
  • Sinal interno: |x+1|-|x-1|=(x+1)-(x-1)=2.
  • LHS = 3\cdot 2=6.
  • Inequação: 6\le 2x^{2}-4x\Rightarrow 0\le 2x^{2}-4x-6\Rightarrow x^{2}-2x-3\ge 0.
  • Fatorando: x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1). A solução é x\le -1 ou x\ge 3. No nosso intervalo x>1 temos então x\ge 3.
  • Resultado: x\ge 3.
Unindo todos os casos: x\le -1, (-1,0] e [3,\infty). Consolidando os primeiros dois dá (-\infty,0]. Portanto a solução final é
(-\infty,0]\\ \cup\\ [3,\infty).

Passo 8

Resolver (g) \,|x-2|-|x+3|>x^{2}-4x+3\,.
Pontos críticos: x=-3 e x=2. Três intervalos:
Caso 1: x\le -3.
  • |x-2|= -x+2, |x+3|=-x-3.
  • LHS = (-x+2)-(-x-3)=5.
  • Inequação: 5> x^{2}-4x+3\Rightarrow 0> x^{2}-4x-2.
  • A quadrática x^{2}-4x-2 tem raízes 2\pm\sqrt{6} aproximadas em -0{,}449 e 4{,}449. A desigualdade x^{2}-4x-2<0 vale para -0{,}449\ldots < x < 4{,}449\ldots.
  • No entanto estamos em x\le -3, que não intersecta esse intervalo; logo não há solução em x\le -3.
Caso 2: -3<x\le 2.
  • |x-2|= -x+2, |x+3|= x+3.
  • LHS = (-x+2)-(x+3)=-2x-1.
  • Inequação: -2x-1> x^{2}-4x+3\Rightarrow 0> x^{2}-2x+4.
  • A quadrática x^{2}-2x+4 tem discriminante negativo ( \Delta=4-16=-12), é sempre positiva; então x^{2}-2x+4>0 para todo x, e a desigualdade x^{2}-2x+4<0 nunca ocorre.
  • Portanto não há solução neste intervalo.
Caso 3: x>2.
  • |x-2|= x-2, |x+3|= x+3.
  • LHS = (x-2)-(x+3)=-5.
  • Inequação: -5> x^{2}-4x+3\Rightarrow 0> x^{2}-4x+8.
  • A quadrática x^{2}-4x+8 tem discriminante negativo ( \Delta=16-32=-16) e é sempre positiva; logo a desigualdade é impossível em todo x.
  • Assim não há solução neste intervalo.
Concluímos que não existem x que satisfaçam a inequação (g). A solução é o conjunto vazio.

Resposta

(-1,2)\\ \cup\\ (4,7)
(-\infty,-5)\\ \cup\\ (1,5)
(-\infty,-2)\\ \cup\\ (0,\infty)
(-\infty,-5]\\ \cup\\ [-3,7]
(-\infty,-2)\\ \cup\\ (4,\infty)
(-\infty,0]\\ \cup\\ [3,\infty)
\varnothing

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