Resolva as equações modulares:
|4-3 x|=3 x-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|4-3x| = 3x-4.
Informações relevantes dadas:
  • À esquerda está um valor absoluto: |4-3x|, que é sempre maior ou igual a zero.
  • À direita está a expressão linear 3x-4.
  • A incógnita é x (procurar todos os x reais que satisfazem a igualdade).

Passo 2

Observação obrigatória: como |4-3x|\ge 0 para todo x, a igualdade só pode ocorrer se a parte direita também for não negativa. Portanto impomos a condição
3x-4 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
3x-4 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad x \ge \frac{4}{3}.
Então qualquer solução deve satisfazer x \ge \frac{4}{3}. Não faz sentido procurar x<\frac{4}{3}, porque aí o lado direito seria negativo e não poderia ser igual a um módulo (que é \ge 0).

Passo 3

Agora tratamos o valor absoluto. Lembre que, por definição, para qualquer expressão A\), \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=4-3x\]. Vamos separar os casos conforme o sinal de \(4-3x.]

Passo 4

Caso 1: 4-3x \ge 0. Isso equivale a
4-3x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x \le 4 \quad\Longrightarrow\quad x \le \frac{4}{3}.
Mas lembrando a condição do Passo 2 ( x\ge \tfrac{4}{3}), a interseção dessas duas condições dá exatamente
x = \frac{4}{3}.
Para esse x verificamos a equação substituindo:
|4-3\cdot\tfrac{4}{3}| = |4-4| = 0,\qquad 3\cdot\tfrac{4}{3}-4 = 4-4 = 0.
Logo x=\tfrac{4}{3} é solução.

Passo 5

Caso 2: 4-3x < 0. Isso equivale a
4-3x < 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x > 4 \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{4}{3}.
Nesse caso |4-3x| = -(4-3x) = 3x-4. Portanto a equação fica
3x-4 = 3x-4,
que é uma identidade verdadeira para todo x que satisfaz a hipótese do caso (ou seja, para todo x>\tfrac{4}{3}). Como essas x já satisfazem a condição do Passo 2 ( x\ge\tfrac{4}{3}), concluímos que todo x>\tfrac{4}{3} resolve a equação.

Passo 6

Juntando os dois casos: temos x=\tfrac{4}{3} do Caso 1 e todos x>\tfrac{4}{3} do Caso 2. Assim o conjunto de soluções é
x \ge \frac{4}{3}.

Passo 7

Pequena intuição alternativa (curta): note que |4-3x|=|3x-4| sempre. A equação fica |3x-4|=3x-4, e a igualdade |u|=u ocorre exatamente quando u\ge 0. Aqui u=3x-4, então 3x-4\ge 0 dá de novo x\ge \tfrac{4}{3}. Mesma resposta, via outro ponto de vista.

Resposta

\left[\dfrac{4}{3},\infty\right)

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