Resolva as equações modulares:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas:
- À esquerda está um valor absoluto:
, que é sempre maior ou igual a zero. - À direita está a expressão linear
. - A incógnita é
(procurar todos os reais que satisfazem a igualdade).
Passo 2
Observação obrigatória: como
para todo
, a igualdade só pode ocorrer se a parte direita também for não negativa. Portanto impomos a condição
Resolvendo essa desigualdade:
Então qualquer solução deve satisfazer
. Não faz sentido procurar
, porque aí o lado direito seria negativo e não poderia ser igual a um módulo (que é
).
Passo 3
Agora tratamos o valor absoluto. Lembre que, por definição, para qualquer expressão
Aqui
.]
Passo 4
Caso 1:
. Isso equivale a
Mas lembrando a condição do Passo 2 (
), a interseção dessas duas condições dá exatamente
Para esse
verificamos a equação substituindo:
Logo
é solução.
Passo 5
Caso 2:
. Isso equivale a
Nesse caso
. Portanto a equação fica
que é uma identidade verdadeira para todo
que satisfaz a hipótese do caso (ou seja, para todo
). Como essas
já satisfazem a condição do Passo 2 (
), concluímos que todo
resolve a equação.
Passo 6
Juntando os dois casos: temos
do Caso 1 e todos
do Caso 2. Assim o conjunto de soluções é
Passo 7
Pequena intuição alternativa (curta): note que
sempre. A equação fica
, e a igualdade
ocorre exatamente quando
. Aqui
, então
dá de novo
. Mesma resposta, via outro ponto de vista.