1. Construa o gráfico da função definida nos reais:
f(x)=|2 x+1|+|x-1|

Passo 1

O enunciado dá a função definida em todos os reais:
f(x)=|2x+1|+|x-1|
E pede: construir o gráfico dessa função (ou seja, representar graficamente o valor de f(x) para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro, uma pequena aula sobre valor absoluto para garantir que estamos alinhados.
O valor absoluto de um número real a\) é definido por \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que, quando aparece |\text{algo}|\], para escrevermos uma expressão sem módulo precisamos saber o sinal de “algo”. Por isso, para funções com módulos a técnica padrão é: - achar os pontos onde cada expressão dentro do módulo é zero (esses pontos dividem a reta em intervalos); - em cada intervalo substituir cada \(|\cdot| por (\cdot) ou por -(\cdot), conforme o sinal nessa região;
- assim obtemos expressões polinomiais (aqui lineares) em cada intervalo, que são fáceis de desenhar.]

Passo 3

Encontrar os pontos onde cada argumento do módulo se anula (esses são candidatos a “quebra” no gráfico). As expressões dentro dos módulos são 2x+1 e x-1. Resolvendo:
2x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2},
x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto, as quebras podem acontecer em x=-\tfrac{1}{2} e x=1. Vamos dividir a reta em três intervalos naturais:
(-\infty,-\tfrac{1}{2}],\quad [-\tfrac{1}{2},1],\quad [1,\infty).

Passo 4

Agora, em cada intervalo, determinamos o sinal de 2x+1 e de x-1 e simplificamos f(x).
Para x\le -\tfrac{1}{2}: temos 2x+1\le 0 e x-1<0. Logo
f(x)=-(2x+1)- (x-1).
Efetuando as contas:
f(x) = -2x -1 -x +1 = -3x.
Portanto, em x\le -\tfrac{1}{2} a função é a reta f(x)=-3x (declive -3).

Passo 5

Para -\tfrac{1}{2}\le x\le 1: temos 2x+1\ge 0 (porque x\ge -\tfrac{1}{2}) e x-1\le 0 (porque x\le 1). Assim
f(x)=(2x+1)- (x-1).
Simplificando:
f(x)=2x+1-x+1 = x+2.
Logo, no intervalo -\tfrac{1}{2}\le x\le 1 a função é a reta f(x)=x+2 (declive 1).

Passo 6

Para x\ge 1: temos 2x+1\ge 0 e x-1\ge 0. Então
f(x)=(2x+1)+(x-1).
Simplificando:
f(x)=2x+1+x-1 = 3x.
Logo, em x\ge 1 a função é a reta f(x)=3x (declive 3).

Passo 7

Conferência de continuidade e valores nos pontos de quebra (importante para desenhar certinho):
f\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)= -3\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{2},
mas também pela expressão do meio x+2 em x=-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{3}{2}. Logo contínua em x=-\tfrac{1}{2}.
f(1)= (1)+2=3,
e pela expressão da direita 3\cdot1=3. Logo contínua em x=1.
Alguns pontos úteis para plotar: f(0)=0+2=2 (interseção com eixo y em (0,2)), f(-1)=-3(-1)=3, f(2)=3\cdot2=6. Não existem raízes reais (soma de módulos só é zero se ambos forem zero ao mesmo tempo, o que aqui não ocorre).

Passo 8

Interpretação geométrica e mínimo: o gráfico é peça por peça três retas que se juntam nos pontos \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr) e (1,3). As declividades são -3,\;1,\;3 nos três trechos, respectivamente. Como a inclinação passa de negativa para positiva em x=-\tfrac{1}{2}, a função atinge o seu mínimo global em x=-\tfrac{1}{2} com valor f(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}.

Resposta

f(x)= \begin{cases} -3x, & x\le -\tfrac{1}{2},\\[4pt] x+2, & -\tfrac{1}{2}\le x\le 1,\\[4pt] 3x, & x\ge 1. \end{cases}]

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