- Construa o gráfico da função definida nos reais:
Passo 1
O enunciado dá a função definida em todos os reais:
E pede: construir o gráfico dessa função (ou seja, representar graficamente o valor de
para todo
).
Passo 2
Primeiro, uma pequena aula sobre valor absoluto para garantir que estamos alinhados.
O valor absoluto de um número real
Isto significa que, quando aparece
por
ou por
, conforme o sinal nessa região;
- assim obtemos expressões polinomiais (aqui lineares) em cada intervalo, que são fáceis de desenhar.]
- assim obtemos expressões polinomiais (aqui lineares) em cada intervalo, que são fáceis de desenhar.]
Passo 3
Encontrar os pontos onde cada argumento do módulo se anula (esses são candidatos a “quebra” no gráfico). As expressões dentro dos módulos são
e
. Resolvendo:
Portanto, as quebras podem acontecer em
e
. Vamos dividir a reta em três intervalos naturais:
Passo 4
Agora, em cada intervalo, determinamos o sinal de
e de
e simplificamos
.
Para
: temos
e
. Logo
Efetuando as contas:
Portanto, em
a função é a reta
(declive
).
Passo 5
Para
: temos
(porque
) e
(porque
). Assim
Simplificando:
Logo, no intervalo
a função é a reta
(declive
).
Passo 6
Para
: temos
e
. Então
Simplificando:
Logo, em
a função é a reta
(declive
).
Passo 7
Conferência de continuidade e valores nos pontos de quebra (importante para desenhar certinho):
mas também pela expressão do meio
em
dá
. Logo contínua em
.
e pela expressão da direita
. Logo contínua em
.
Alguns pontos úteis para plotar: (interseção com eixo
em
),
,
. Não existem raízes reais (soma de módulos só é zero se ambos forem zero ao mesmo tempo, o que aqui não ocorre).
Alguns pontos úteis para plotar:
Passo 8
Interpretação geométrica e mínimo: o gráfico é peça por peça três retas que se juntam nos pontos
e
. As declividades são
nos três trechos, respectivamente. Como a inclinação passa de negativa para positiva em
, a função atinge o seu mínimo global em
com valor
.