Determine o conjunto solução das seguintes desigualdades
|x-2|-|3 x|<0

Passo 1

Temos a desigualdade |x-2|-|3x|<0. O conteúdo aqui é resolução de desigualdades que envolvem valor absoluto. Para isso, vamos usar a definição de valor absoluto:

Passo 2

|A| = A, & se A >= 0, -A, & se A < 0
Precisamos identificar onde mudam de sinal os radicandos de cada módulo, ou seja, os pontos críticos são x=2 (para x-2) e x=0 (para 3x), e então analisar cada intervalo resultante.

Passo 3

Caso 1: x >= 2. Aqui x-2 >= 0 e 3x >= 0, logo
|x-2| = x-2 e |3x| = 3x. Substituindo na desigualdade:

Passo 4

(x-2) - 3x < 0
Isso dá
-2 < 2x Longrightarrow x > -1
Como estamos assumindo x >= 2, todo x nessa faixa satisfaz x>-1. Portanto, a solução neste caso é
x >= 2.

Passo 5

Caso 2: 0 <= x < 2. Aqui x-2 < 0 e 3x >= 0, então
|x-2| = 2-x e |3x| = 3x. A desigualdade fica:

Passo 6

(2-x) - 3x < 0
Isso leva a
2 < 4x Longrightarrow x > tfrac12
Juntando com 0 <= x < 2, obtemos a solução nesse caso como
tfrac12 < x < 2.

Passo 7

Caso 3: x < 0. Aqui x-2 < 0 e 3x < 0, então
|x-2| = 2-x e |3x| = -3x. Substituindo:

Passo 8

(2-x) - (-3x) < 0
Logo
2 < -2x Longrightarrow x < -1
Como estamos em x<0, a solução nesse caso é
x < -1.

Passo 9

Agora é só juntar tudo. Dos três casos temos as soluções
x < -1, tfrac12 < x < 2 e x >= 2.
Note que (tfrac12,2)cup[2,infty) = (tfrac12,infty).
Portanto, a solução geral da desigualdade é a união
$ (-\infty,-1) \cup (\tfrac12,\infty) $.

Resposta

(-\infty, -1) \cup (\tfrac12, \infty)

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