Determine o conjunto solução das seguintes desigualdades
Passo 1
Temos a desigualdade
. O conteúdo aqui é resolução de desigualdades que envolvem valor absoluto. Para isso, vamos usar a definição de valor absoluto:
Passo 2
Precisamos identificar onde mudam de sinal os radicandos de cada módulo, ou seja, os pontos críticos são
(para
) e
(para
), e então analisar cada intervalo resultante.
Passo 3
Caso 1:
. Aqui
e
, logo
e
. Substituindo na desigualdade:
Passo 4
Isso dá
Como estamos assumindo
, todo
nessa faixa satisfaz
. Portanto, a solução neste caso é
.
Passo 5
Caso 2:
. Aqui
e
, então
e
. A desigualdade fica:
Passo 6
Isso leva a
Juntando com
, obtemos a solução nesse caso como
.
Passo 7
Caso 3:
. Aqui
e
, então
e
. Substituindo:
Passo 8
Logo
Como estamos em
, a solução nesse caso é
.
Passo 9
Agora é só juntar tudo. Dos três casos temos as soluções
,
e
.
Note que .
Portanto, a solução geral da desigualdade é a união
$ (-\infty,-1) \cup (\tfrac12,\infty) $.
Note que
Portanto, a solução geral da desigualdade é a união
$ (-\infty,-1) \cup (\tfrac12,\infty) $.
Resposta
(-\infty, -1) \cup (\tfrac12, \infty)