Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
\lfloor x\rfloor>2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os reais x que satisfazem a inequação
\lfloor x\rfloor > 2.
Informações dadas: a função envolvida é a parte inteira (piso) \lfloor x\rfloor. O objetivo é determinar o conjunto solução (todos os x\in\mathbb{R} que tornam a desigualdade verdadeira).

Passo 2

Definição e entendimento do operador piso (parte inteira):
  • Por definição, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro n tal que n\le x.
  • Em outras palavras, existe um inteiro n com
\lfloor x\rfloor = n \quad\Longleftrightarrow\quad n\le x < n+1.
Exemplo simples para fixar a ideia: se x=3{,}7 então \lfloor x\rfloor=3 porque 3\le 3{,}7<4. Se x=3 então \lfloor x\rfloor=3 porque 3\le 3 <4.

Passo 3

Transformar a desigualdade usando que \lfloor x\rfloor é inteiro.
  • A condição \lfloor x\rfloor > 2 diz que o inteiro \lfloor x\rfloor é maior que 2.
  • Para inteiros, ser maior que 2 é equivalente a ser maior ou igual a 3. Logo
\lfloor x\rfloor > 2 \quad\Longleftrightarrow\quad \lfloor x\rfloor \ge 3.

Passo 4

Traduzir \lfloor x\rfloor \ge 3 em desigualdades sobre x.
  • Escrevendo \lfloor x\rfloor = n com n\in\mathbb{Z} e n\ge 3, temos para cada tal n
n \le x < n+1.
  • Assim o conjunto solução é a união de todos os intervalos [n,n+1) para n=3,4,5,\dots:
\bigcup_{n=3}^{\infty} [n,n+1).
  • Esses intervalos cobrem todos os reais desde 3 (inclusive) até o infinito, sem lacunas; portanto a união é simplesmente o intervalo
[3,\infty).
  • Verificações rápidas: x=3 funciona ( \lfloor 3\rfloor=3>2); x=2{,}999 não funciona ( \lfloor 2{,}999\rfloor=2\not>2); x=100 funciona ( \lfloor 100\rfloor=100>2).

Passo 5

Conclusão final: o conjunto de todas as soluções da inequação é o intervalo [3,\infty).

Resposta

[3,\infty)

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