Resolver a equação x^{2}-1634 x+2=0. Um resultado mais preciso pode ser obtido sabendo-se que o produto das raízes x_{1} \times x_{2}=2, donde x_{2}=\frac{2}{x_{1}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
x^{2}-1634x+2=0.
Informações dadas e objetivos claros:
  • A equação é do tipo ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-1634, c=2.
  • Foi ressaltado que o produto das raízes é x_{1}\times x_{2}=2, portanto x_{2}=\dfrac{2}{x_{1}}.
  • Objetivo: encontrar as duas raízes x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Relação entre coeficientes e raízes (fórmula de Viète) — aula rápida e prática:
  • Para uma equação \,ax^{2}+bx+c=0, as raízes x_{1} e x_{2} satisfazem
x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}, \qquad x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}.
Aqui a=1, b=-1634, c=2. Aplicando:
x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-1634}{1}=1634, \qquad x_{1}x_{2}=\dfrac{2}{1}=2.
Portanto a soma das raízes é 1634 e o produto é 2. Essas duas informações já são muito poderosas — guarde isso!

Passo 3

Explorar a simetria das raízes em torno da média aritmética (estratégia prática):
  • A média aritmética das raízes é
m=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=\dfrac{1634}{2}=817.
  • Como as duas raízes têm soma 2m, é útil escrever
x_{1}=m+d,\qquad x_{2}=m-d
para algum d\ge0. Isso é apenas dizer que as raízes são simétricas em torno de m.

Passo 4

Usar o produto para encontrar d (passo algébrico direto):
  • Multiplicando as expressões x_{1}x_{2}=(m+d)(m-d)=m^{2}-d^{2} e igualando ao produto conhecido:
m^{2}-d^{2}=2.
  • Logo
d^{2}=m^{2}-2.
  • Calculamos m^{2}. Como m=817, fazemos o quadrado de forma explicada:
817^{2}=(800+17)^{2}=800^{2}+2\cdot800\cdot17+17^{2}=640000+27200+289=667489.
  • Portanto
d^{2}=667489-2=667487.
  • Como d\ge0,
d=\sqrt{667487}.

Passo 5

Escrever as raízes explicitamente (resultado exato) — conclusão direta:
  • Substituindo m e d obtemos
x_{1}=817+\sqrt{667487}, \qquad x_{2}=817-\sqrt{667487}.
Verificação rápida (sanity check): o produto é
(817+\sqrt{667487})(817-\sqrt{667487})=817^{2}-667487=667489-667487=2,
conferindo com o dado do enunciado.

Passo 6

Aproximação numérica (útil na prova se pedirem valores aproximados):
  • Observação prática: como \sqrt{667487}=\sqrt{817^{2}-2} e 2 é pequeno em relação a 817^{2}, pode-se usar a aproximação
\sqrt{817^{2}-2}\approx 817-\dfrac{2}{2\cdot817}=817-\dfrac{1}{817}\approx 816{,}998776.
  • Assim valores aproximados das raízes:
x_{1}\approx 817+816{,}998776\approx 1633{,}998776, \qquad x_{2}\approx 817-816{,}998776\approx 0{,}001224.

Resposta

x_{1}=817+\sqrt{667487}
x_{2}=817-\sqrt{667487}

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