Resolver a equação
. Um resultado mais preciso pode ser obtido sabendo-se que o produto das raízes
, donde
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação quadrática
Informações dadas e objetivos claros:
- A equação é do tipo
com , , . - Foi ressaltado que o produto das raízes é
, portanto . - Objetivo: encontrar as duas raízes
e .
Passo 2
Relação entre coeficientes e raízes (fórmula de Viète) — aula rápida e prática:
- Para uma equação
, as raízes e satisfazem
Aqui
,
,
. Aplicando:
Portanto a soma das raízes é
e o produto é
. Essas duas informações já são muito poderosas — guarde isso!
Passo 3
Explorar a simetria das raízes em torno da média aritmética (estratégia prática):
- A média aritmética das raízes é
- Como as duas raízes têm soma
, é útil escrever
para algum
. Isso é apenas dizer que as raízes são simétricas em torno de
.
Passo 4
Usar o produto para encontrar
(passo algébrico direto):
- Multiplicando as expressões
e igualando ao produto conhecido:
- Logo
- Calculamos
. Como , fazemos o quadrado de forma explicada:
- Portanto
- Como
,
Passo 5
Escrever as raízes explicitamente (resultado exato) — conclusão direta:
- Substituindo
e obtemos
Verificação rápida (sanity check): o produto é
conferindo com o dado do enunciado.
Passo 6
Aproximação numérica (útil na prova se pedirem valores aproximados):
- Observação prática: como
e é pequeno em relação a , pode-se usar a aproximação
- Assim valores aproximados das raízes: