Melhore a aproximação calculando
\frac{9876-9875}{\sqrt{9876}-\sqrt{9875}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a expressão \frac{9876-9875}{\sqrt{9876}-\sqrt{9875}}.
  • Observação imediata: 9876-9875=1.
  • O pedido é calcular (ou melhorar a aproximação de) essa quantidade.

Passo 2

Truque algébrico que vamos usar (explicação didática):
  • Para simplificar frações com raízes no denominador, é útil multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \sqrt{9876}-\sqrt{9875} é \sqrt{9876}+\sqrt{9875}.
  • Lembrando a identidade diferença de quadrados: para quaisquer a e b vale (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
    Aplicando isso diretamente:
\frac{9876-9875}{\sqrt{9876}-\sqrt{9875}} = \frac{1}{\sqrt{9876}-\sqrt{9875}} \cdot \frac{\sqrt{9876}+\sqrt{9875}}{\sqrt{9876}+\sqrt{9875}} = \frac{\sqrt{9876}+\sqrt{9875}}{(\sqrt{9876})^2-(\sqrt{9875})^2}.
Agora usando (\sqrt{9876})^2=9876 e (\sqrt{9875})^2=9875 obtemos
\frac{\sqrt{9876}+\sqrt{9875}}{9876-9875} = \sqrt{9876}+\sqrt{9875}.
Ou seja, a expressão se simplifica exatamente para \sqrt{9876}+\sqrt{9875}. Isso já é uma grande melhora: em vez de dividir por uma diferença muito pequena de raízes, temos a soma das raízes.

Passo 3

Aproximação numérica (como obter um valor decimal confiável, passo a passo):
  • É conveniente aproximar \sqrt{9876} e \sqrt{9875} a partir de \sqrt{10000}=100. Use uma expansão de Taylor de segunda ordem (linearização com correção) para \sqrt{10000-x}:
\sqrt{10000-x}\approx 100-\frac{x}{200}-\frac{x^2}{8\cdot10^{6}}.
  • Para \sqrt{9876} temos x=124. Então
\sqrt{9876}\approx 100-\frac{124}{200}-\frac{124^2}{8\cdot10^{6}} =100-0{,}62- \frac{15376}{8\,000\,000}.
Calcule \dfrac{15376}{8\,000\,000}=0{,}001922. Logo
\sqrt{9876}\approx 99{,}38-0{,}001922=99{,}378078.
  • Para \sqrt{9875} temos x=125. Então
\sqrt{9875}\approx 100-\frac{125}{200}-\frac{125^2}{8\cdot10^{6}} =100-0{,}625- \frac{15625}{8\,000\,000}.
Calcule \dfrac{15625}{8\,000\,000}=0{,}001953125. Logo
\sqrt{9875}\approx 99{,}375-0{,}001953125=99{,}373046875.
  • Somando as duas aproximações:
\sqrt{9876}+\sqrt{9875}\approx 99{,}378078+99{,}373046875=198{,}751124875.
Arredondando a um nível prático (6 casas decimais), temos aproximadamente 198{,}751125.

Passo 4

Interpretação final e dica para prova:
  • Em provas, ao ver \dfrac{a^2-b^2}{a-b} ou algo que envolva \sqrt{\cdot} com diferença, pense imediatamente em multiplicar pelo conjugado; isso evita perdas de precisão e simplifica muito.
  • Aqui a identidade levou a uma expressão exata simples e depois a uma aproximação numérica confiável.

Resposta

\sqrt{9876}+\sqrt{9875}\approx198{,}751125

Exercícios relacionados