Melhore a aproximação calculando
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a expressão
- Observação imediata:
. - O pedido é calcular (ou melhorar a aproximação de) essa quantidade.
Passo 2
Truque algébrico que vamos usar (explicação didática):
- Para simplificar frações com raízes no denominador, é útil multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é . - Lembrando a identidade diferença de quadrados: para quaisquer
e vale .
Aplicando isso diretamente:
Agora usando
e
obtemos
Ou seja, a expressão se simplifica exatamente para
. Isso já é uma grande melhora: em vez de dividir por uma diferença muito pequena de raízes, temos a soma das raízes.
Passo 3
Aproximação numérica (como obter um valor decimal confiável, passo a passo):
- É conveniente aproximar
e a partir de . Use uma expansão de Taylor de segunda ordem (linearização com correção) para :
- Para
temos . Então
Calcule
. Logo
- Para
temos . Então
Calcule
. Logo
- Somando as duas aproximações:
Arredondando a um nível prático (6 casas decimais), temos aproximadamente
.
Passo 4
Interpretação final e dica para prova:
- Em provas, ao ver
ou algo que envolva com diferença, pense imediatamente em multiplicar pelo conjugado; isso evita perdas de precisão e simplifica muito. - Aqui a identidade levou a uma expressão exata simples e depois a uma aproximação numérica confiável.