Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
|x+2|-|x-3|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos lvert x+2rvert - lvert x-3rvert > x. O conteúdo é inequações envolvendo módulos e vamos precisar usar a definição de valor absoluto em diferentes intervalos determinados por x+2=0 e x-3=0.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos críticos onde trocam-se as expressões de módulo: x=-2 e x=3. Dividimos a reta em três regiões: 1) x< -2, 2) -2<= x<3 e 3) x>=3.

Passo 3

Na região x< -2, temos x+2<0 e x-3<0. Logo, lvert x+2rvert=-(x+2) e lvert x-3rvert=-(x-3). A expressão vira
-(x+2)-l[-(x-3)r]-x = -x-2 + x-3 - x = -x-5
Daí a inequação -x-5>0 implica x<-5. Como estamos em x< -2, a parte viável é ( -infty, -5).

Passo 4

Na região -2<= x<3, temos x+2>=0 e x-3<0. Então lvert x+2rvert=x+2 e lvert x-3rvert=-(x-3). A expressão torna-se
(x+2)-[-(x-3)]-x = x+2 + x-3 - x = x-1
Assim, x-1>0 x>1. Intersectando com -2<= x<3, obtemos (1,3).

Passo 5

Na região x>=3, temos x+2>=0 e x-3>=0. Logo lvert x+2rvert=x+2 e lvert x-3rvert=x-3. Fica
(x+2)-(x-3)-x = x+2 - x +3 - x = 5 - x
Daí 5-x>0 implica x<5. Intersectando com x>=3, obtemos [3,5).

Passo 6

Unindo as soluções de cada região, temos
(-infty,-5) cup (1,3) cup [3,5) = (-infty,-5) cup (1,5)

Resposta

(-infty,-5) cup (1,5)

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