Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de x tais que o produto (x−1)(2x−3) seja maior ou igual a zero. Isso é uma inequação de produto de dois fatores e precisaremos usar análise de sinais.
Passo 2
Para descobrir onde cada fator zera, resolvemos separadamente:
$$
x-1=0
2x-3=0$$
Temos x=\tfrac{3}{2}.
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos.
Temos x=\tfrac{3}{2}.
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos.
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo. Podemos escolher um valor de teste em cada parte:
- Para x<1, por exemplo x=0:
- x−1 é negativo,
- 2x−3 é negativo,
- produto = positivo.
- Para 1<x<\tfrac{3}{2}, por exemplo x=1,2:
- x−1 é positivo,
- 2x−3 é negativo,
- produto = negativo.
- Para x>\tfrac{3}{2}, por exemplo x=2:
- x−1 é positivo,
- 2x−3 é positivo,
- produto = positivo.
Passo 4
A inequação exige (x−1)(2x−3)≥0, ou seja, região onde o produto é positivo ou zero. O produto é positivo em (−∞,1) e (\tfrac{3}{2},∞), e é zero exatamente em x=1 e x=\tfrac{3}{2}. Unindo tudo, temos: (−∞,1] ∪ [\tfrac{3}{2},∞).
Resposta
(−∞,1] ∪ [3/2,∞)