Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
(x-1)(2 x-3) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x tais que o produto (x−1)(2x−3) seja maior ou igual a zero. Isso é uma inequação de produto de dois fatores e precisaremos usar análise de sinais.

Passo 2

Para descobrir onde cada fator zera, resolvemos separadamente:
$$
x-1=0 x-1=0
2x-3=0$$
Temos x=\tfrac{3}{2}.
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos.

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo. Podemos escolher um valor de teste em cada parte:
  • Para x<1, por exemplo x=0:
    • x−1 é negativo,
    • 2x−3 é negativo,
    • produto = positivo.
  • Para 1<x<\tfrac{3}{2}, por exemplo x=1,2:
    • x−1 é positivo,
    • 2x−3 é negativo,
    • produto = negativo.
  • Para x>\tfrac{3}{2}, por exemplo x=2:
    • x−1 é positivo,
    • 2x−3 é positivo,
    • produto = positivo.

Passo 4

A inequação exige (x−1)(2x−3)≥0, ou seja, região onde o produto é positivo ou zero. O produto é positivo em (−∞,1) e (\tfrac{3}{2},∞), e é zero exatamente em x=1 e x=\tfrac{3}{2}. Unindo tudo, temos: (−∞,1] ∪ [\tfrac{3}{2},∞).

Resposta

(−∞,1] ∪ [3/2,∞)

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