Classifique e resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\\\ 2 x+2 y+2 z=4 \\\ x-y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações e pede para classificá-lo (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) e resolvê-lo:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\[4pt] 2x+2y+2z=4 \\[4pt] x-y+z=0 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • As três equações acima são as equações do sistema.
  • É preciso indicar a classificação do sistema e apresentar todas as soluções (se houver).]

Passo 2

Vou usar eliminação por operações elementares (eliminação de Gauss), que é um método direto e básico para sistemas lineares: representamos o sistema por uma matriz aumentada e aplicamos operações que não mudam o conjunto de soluções até obter uma forma triangular ou escalonada. Explicando didaticamente:
  • Cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação.
  • Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a uma linha um múltiplo de outra — essas operações preservam as soluções.
  • Depois de escalonar, podemos ler equações simples e fazer substituição para encontrar as variáveis.
    Também vou usar o conceito de posto (rank): o posto da matriz de coeficientes é o número de linhas não-nulas na forma escalonada; comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada determina se o sistema é compatível e, se compatível, se é determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções).

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, termos independentes à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2 & 2 & 4 \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 para eliminar a primeira coluna na segunda linha:
  • Cálculo linha 2: (2,2,2\mid4) - 2(1,1,1\mid2) = (0,0,0\mid0).
    A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 5

Faço a operação R_3 \leftarrow R_3 - R_1 para eliminar a primeira coluna na terceira linha:
  • Cálculo linha 3: (1,-1,1\mid0)-(1,1,1\mid2) = (0,-2,0\mid-2).
    A matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right]

Passo 6

Para ficar mais organizado, troco R_2 com R_3 (colocar a linha não-nula logo abaixo da primeira):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & -2 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora é claro que a segunda linha é não-nula e a terceira é nula.

Passo 7

Normalizo a segunda linha dividindo por -2: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_2. Assim R_2 fica (0,1,0\mid1). A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Isto corresponde, em forma de equações, a:
\begin{cases} x + y + z = 2,\\[4pt] y = 1,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}]

Passo 8

Uso y=1 para eliminar y da primeira equação: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. Isso dá R_1=(1,0,1\mid1), isto é
x + z = 1.
A matriz escalonada final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 9

Interpretação e classificação pelo posto:
  • O posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não-nulas na forma escalonada).
  • O posto da matriz aumentada também é 2 (a terceira linha é 0=0, não introduz inconsistência).
  • Como o posto é igual ao número de incógnitas? Não: número de incógnitas é 3 e posto é 2, então há infinitas soluções (grau de liberdade 3-2=1).
    Portanto o sistema é compatível indeterminado (compatível com infinitas soluções).

Passo 10

Determinar a solução geral:
  • Da linha 2: y=1.
  • Da linha 1: x+z=1 então x=1-z.
  • A variável z é livre; chamo z=t com t\in\mathbb{R}.
    Logo todas as soluções são
x=1-t,\qquad y=1,\qquad z=t,\qquad \text{com } t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
Solução geral: x=1-t,\; y=1,\; z=t, com t\in\mathbb{R}.

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