Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{4}+1}

Passo 1

Estamos diante da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{4}+1}
e precisamos encontrar todos os valores reais de x para os quais esta série converge. O conteúdo principal aqui é o estudo da convergência de séries de potências, usando o teste da raiz para obter o raio de convergência e depois examinando os casos de fronteira.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à série geral
a_n(x)=\frac{x^n}{n^4+1},
onde calculamos
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_n(x)\bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{(n^4+1)^{1/n}}.
Como \displaystyle(n^4+1)^{1/n}\to1, o limite acima é |x|. O teste da raiz diz que a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Concluímos, portanto, que para |x|<1 a série converge absolutamente, e para |x|>1 ela diverge.

Passo 4

Analisemos o caso x=1. A série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4+1}.
Como para n grande \tfrac{1}{n^4+1} se comporta como \tfrac{1}{n^4} e sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}
é uma série p-série com p=4>1, por comparação direta a nossa série em x=1 também converge.

Passo 5

No ponto x=-1 temos a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^4+1}.
Como \frac{1}{n^4+1} é decrescente e tende a zero, pelo teste da série alternada (Leibniz) ela converge. Além disso, como a série de termos absolutos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4+1}
já foi vista como convergente, concluímos que a convergência em x=-1 é absoluta.

Resposta

O conjunto de todos os valores reais de x para os quais a série converge é
[-1,1].

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