Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de valores de x para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{3}}
converge. Isso é uma série de potências centrada em x=2. Vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois examinar os pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: analisamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-2)^{n}}{n^{3}}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-2|}{(n^{3})^{1/n}} =\;|x-2|\;\cdot\;\lim_{n\to\infty}n^{-3/n}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{-3/n}=1, o critério da raiz diz que a série converge se
|x-2|<1
e diverge se
|x-2|>1.

Passo 3

Concluímos que o raio de convergência é R=1. Portanto, a série converge absolutamente para
|x-2|<1
e diverge para
|x-2|>1.

Passo 4

Agora testamos os extremos x-2=\pm1.
  1. Se x-2=1, ou seja x=3, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{3}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}},
que é uma série p-série com p=3>1. Logo converge.
  1. Se x-2=-1, ou seja x=1, a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}}.
Como \sum 1/n^{3} converge, esta converge absolutamente e, portanto, converge também.

Resposta

O conjunto de convergência da série é
[1,3].

Exercícios relacionados