Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto de x tais que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{n}}{n^{2}+1}
converge. Isso é uma série de potências centrada em x_{0}=-\tfrac12 com coeficientes a_{n}=\tfrac1{n^{2}+1}. Para estudar a convergência, vamos usar o teste da raiz (ou o teste da razão) para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos dois pontos extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{n}}{n^{2}+1}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{\bigl|x+\tfrac12\bigr|}{\sqrt[n]{\,n^{2}+1\,}} =\bigl|x+\tfrac12\bigr|\cdot1 =\bigl|x+\tfrac12\bigr|.
Pelo teste da raiz, a série converge se
\bigl|x+\tfrac12\bigr|<1
e diverge se
\bigl|x+\tfrac12\bigr|>1.
Assim, o intervalo aberto de convergência é
-\tfrac32 < x < \tfrac12.

Passo 3

Verificamos agora o extremo direito x=\tfrac12. Nesse caso
x+\tfrac12 = 1,
e a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}.
Como \tfrac1{n^{2}+1} é comparável a \tfrac1{n^{2}} e \sum n^{-2} converge, concluímos que a série converge em x=\tfrac12.

Passo 4

No extremo esquerdo x=-\tfrac32 temos
x+\tfrac12 = -1,
e a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}.
Novamente \bigl|\tfrac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}\bigr|=\tfrac1{n^{2}+1} e \sum n^{-2} converge, logo há convergência absoluta e, portanto, convergência também em x=-\tfrac32.

Resposta

A série converge para todos os x tais que
\bigl|x+\tfrac12\bigr|\le1,
ou seja,
x\in\bigl[-\tfrac32,\\ \tfrac12\bigr].

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