converge. Isso é uma série de potências centrada em x_{0}=-\tfrac12 com coeficientes a_{n}=\tfrac1{n^{2}+1}. Para estudar a convergência, vamos usar o teste da raiz (ou o teste da razão) para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos dois pontos extremos.
Como \tfrac1{n^{2}+1} é comparável a \tfrac1{n^{2}} e \sum n^{-2} converge, concluímos que a série converge em x=\tfrac12.
Passo 4
No extremo esquerdox=-\tfrac32 temos
x+\tfrac12 = -1,
e a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}.
Novamente \bigl|\tfrac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}\bigr|=\tfrac1{n^{2}+1} e \sum n^{-2} converge, logo há convergência absoluta e, portanto, convergência também em x=-\tfrac32.