Determine o conjunto dos valores de x para os quais cada função abaixo é decrescente:
g(x)=e^{x}-x

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto de valores de x em que a função
g(x)=e^{x}-x
é decrescente. O conteúdo usado aqui é o estudo de monotonicidade via derivada: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa.

Passo 2

Calculamos a derivada de g. Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dx}(-x)=-1, temos
g'(x)=e^{x}-1.

Passo 3

Para que g seja decrescente precisamos de
g'(x)<0,
isto é,
e^{x}-1<0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}<1.

Passo 4

A desigualdade e^{x}<1 ocorre exatamente quando
x<0,
pois a função exponencial é estritamente crescente e e^{0}=1.

Resposta

(-\infty,0)

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