Determine o conjunto dos valores de x para os quais cada função abaixo é decrescente:
f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de valores de x em que a função
f(x)=3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}+1
é decrescente. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade, e para resolver vamos calcular a derivada f'(x), encontrar suas raízes e estudar o sinal de f'(x) para achar onde f'(x)<0.

Passo 2

Calculemos a derivada de f usando regras de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}+1\bigr) =12x^{3}+12x^{2}-24x.

Passo 3

Fatorando f'(x), temos:
f'(x)=12x^{3}+12x^{2}-24x =12x\bigl(x^{2}+x-2\bigr) =12x\,(x+2)\,(x-1).

Passo 4

As raízes de f'(x) são x=-2, x=0 e x=1. Para estudar o sinal de f'(x)=12x(x+2)(x-1), analisamos cada fator em cada intervalo:
Para x<-2:
x<0, x+2<0 e x-1<0 \Rightarrow produto de três sinais \,(-)\times(-)\times(-)=(-). Logo f'(x)<0.
Para -2<x<0:
x<0, x+2>0 e x-1<0 \Rightarrow ( - )\times(+)\times(-)=(+). Logo f'(x)>0.
Para 0<x<1:
x>0, x+2>0 e x-1<0 \Rightarrow ( + )\times(+)\times(-)=(-). Logo f'(x)<0.
Para x>1:
x>0, x+2>0 e x-1>0 \Rightarrow ( + )\times(+)\times(+)=(+). Logo f'(x)>0.

Passo 5

Concluímos que f'(x)<0 nos intervalos onde a função é estritamente decrescente, isto é,
x\in(-\infty,-2)\quad\text{ou}\quad x\in(0,1).

Resposta

(-\infty,-2)\,\cup\,(0,1).

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