Determine o conjunto dos valores de x para os quais cada função abaixo é decrescente:
h(x)=\frac{3 x-2}{x+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\frac{3x-2}{x+1}
e pede o conjunto de valores de x para os quais h é decrescente.
O conteúdo necessário é cálculo de derivada e análise de sinal. Note que o domínio de h é
x\neq -1.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de h usando a regra do quociente. Para
h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=3x-2,\;v(x)=x+1,
temos
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{3\,(x+1)-(3x-2)\cdot 1}{(x+1)^2} =\frac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2} =\frac{5}{(x+1)^2}.

Passo 3

Observe que o numerador é 5>0 e o denominador (x+1)^2 é sempre positivo para todo x\neq -1. Logo,
h'(x)=\frac{5}{(x+1)^2}>0 \quad\forall x\neq -1.

Passo 4

Como h'(x)>0 em todo o domínio de h, a função é estritamente crescente em cada intervalo de seu domínio e não é decrescente em nenhum ponto.

Resposta

O conjunto dos valores de x para os quais h é decrescente é o conjunto vazio:
\varnothing.

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